旅行商问题（TSP问题）

题目
TSP问题（旅行商问题）是指旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市，并要求所走的路程最短。
假设现在有四个城市，0,1,2,3，他们之间的代价如图一，可以存成二维表的形式

现在要从城市0出发，最后又回到0，期间1，2，3都必须并且只能经过一次，使代价最小。

分析
TSP问题是NP完全问题；
从初始点出发的周游路线一共有(n-1)!条，即等于除初始结点外的n-1个结点的排列数，因此旅行商问题是一个排列问题。通过枚举(n-1)!条周游路线，从中找出一条具有最小成本的周游路线的算法，其计算时间显然为O(n!)。

方法1：动态规划方法
动态规划可行性：设s, s1, s2, …, sp, s是从s出发的一条路径长度最短的简单回路，假设从s到下一个城市s1已经求出，则问题转化为求从s1到s的最短路径，显然s1, s2, …, sp, s一定构成一条从s1到s的最短路径，所以TSP问题是构成最优子结构性质的，用动态规划来求解也是合理的。
推倒动态规划方程：
假设从顶点s出发，令d(i, V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。
推导：(分情况来讨论)
①当V’为空集，那么d(i, V’)，表示从i不经过任何点就回到s了，如上图的 城市3->城市0(0为起点城市)。此时d(i, V’)=Cis(就是 城市i 到 城市s 的距离)、
②如果V’不为空，那么就是对子问题的最优求解。你必须在V’这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。
d(i, V’)=min{Cik + d(k, V’-{k})} 注：Cik表示你选择的城市和城市i的距离，d(k, V’-{k})是一个子问题。
综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：

将d(i, V’)转换成二维表，d[i][j]

实现

public class Num7 {

    private static int[][] d;
    private static int[] bits;
    /**
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {
         int[][] c={ 
                    {0,3,6,7}, 
                    {5,0,2,3}, 
                    {6,4,0,2}, 
                    {3,7,5,0} 
                }; 
         getMinCost(c);

    }

    /*动态规划 实现TSP问题
     * 
     * 用二进制表示集合（比如1100，表示在当前集合中：节点1、节点2不存在，节点3和节点4存在）
     * 
     * 从上到下求，递归
     */
    public static void getMinCost(int[][] a){
        int n=a.length;
        bits=new int[n];
        for(int i=0;i1<new int[1000][n];

        for(int i=0;ifor(int j=0;j0].length;j++){
                d[i][j]=-1;
            }
        }
        int t=1;
        for(int i=1;i//初始化这些值：{1}->1   {2}->2    {3}-3
            d[t<<(i-1)][i]=a[0][i];
        }

        int res=Integer.MAX_VALUE;

        t=0;
         for(int i=1;i1;
                t=t|1;
        }
        for(int i=1;iint r=getD(i,t,n,a);
            if(r+a[i][0]0];
            }
        }


        System.out.println(res);
    }

    private static int getD(int i, int t,int n,int[][] a) {
        int min=Integer.MAX_VALUE;

        if(d[t][i]!=-1){
            return d[t][i];
        }

        t=t&(~bits[i-1]);

        for(int j=1;jint tt=t&bits[j-1];   //遍历每个集合中的节点
            if(tt>0){   
                int res=getD(j,t,n, a);
                if(res+a[j][i]return d[t][i];
    }

}