Rabin-Miller素数测试

本文不证正确概率，因为我不会
判断大整数是否为质数

前提定理

1. 费马小定理：若 n n 为质数， a<n a < n ，则 an−1≡1 (mod n) a n − 1 ≡ 1   ( m o d   n ) ；若任意整数 x x 满足 ax−1≡1 (mod x) a x − 1 ≡ 1   ( m o d   x ) ，则 x x 有很大概率为质数；
2. 定理2：若 p p 为大于2的质数，则 a2≡1 (mod p) a 2 ≡ 1   ( m o d   p ) 的解只能为 a≡1 a ≡ 1 或 a≡−1 a ≡ − 1 ；

Rabin-Miller素数测试

若待测数 n n 为大于2的质数，则 n−1 n − 1 为偶数
设 n−1=2s×d n − 1 = 2 s × d
随机一个小于 n n 的整数 a a
a2s×d≡1 (mod n) a 2 s × d ≡ 1   ( m o d   n )
(a2s−1×d)2≡1 (mod n) ( a 2 s − 1 × d ) 2 ≡ 1   ( m o d   n )
a2s−1×d≡1 (mod n) a 2 s − 1 × d ≡ 1   ( m o d   n ) 或 a2s−1×d≡−1 (mod n) a 2 s − 1 × d ≡ − 1   ( m o d   n )
若为1，还可以继续递归，直到得到-1或者得到 ad≡±1 (mod n) a d ≡ ± 1   ( m o d   n )

实现时，要倒着来
首先计算出 ad a d ，判断其是否为 ±1 ± 1
然后不停的平方，得到 a2×d,a22×d,a23×d...a2s×d a 2 × d , a 2 2 × d , a 2 3 × d . . . a 2 s × d
直到中途某一步得到了 −1 − 1 ，则通过测试。
如果中途在得到-1之前，得到了1，则说明该数通过某一个不等于±1的数平方得到了1，不满足定理2，则该数测试不通过

一般都要随机取很多 a a ，测试多次才能提高概率。

但是在OI中，用这一串a就行了
{2,3,5,7,11,13,17,19,23} { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 }
它保证 3,825,123,056,546,413,051 3 , 825 , 123 , 056 , 546 , 413 , 051 以内的数计算正确（已经超过long long）

代码

版题：HDU2138

#include
const int TEST_VAL[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41},TEST_NUM=13;

long long PowMod(long long a,long long b,long long p)
{
    long long res=1LL;
    while(b)
    {
        if(b&1LL)
            res=1LL*res*a%p;
        a=1LL*a*a%p;
        b>>=1LL;
    }
    return res;
}

bool MillerRabin(long long a,long long n,long long d)
{
    long long x=PowMod(a,d,n);
    if(x==1||x==n-1)
        return true;
    while(d1)
    {
        x=1LL*x*x%n;
        d=d*2LL;
        if(x==1)
            return false;
        if(x==n-1)
            return true;
    }
    return false;
}
bool isPrime(long long x)
{
    if(x<10)
    {
        if(x==2||x==3||x==5||x==7)
            return true;
        return false;
    }
    long long d=x-1;
    while((d&1LL)==0)
        d>>=1LL;
    for(int i=0;iif(TEST_VAL[i]return false;
    return true;
}

int main()
{
    int n,ans;
    long long x;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        ans=0;
        while(n--)
        {
            scanf("%I64d",&x);
            ans+=isPrime(x);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }

    return 0;
}