波兰式、逆波兰式、表达式求值
波兰式、逆波兰式、表达式求值
中缀表达式
我们在数学中学到的表达式被称为中缀表达式，操作符号在操作数中间，比如2 + 3 * (5 - 1)。对人类而言，这种表达方式显而易见，求值也很直接，先算乘除再算加减，先算括号内再算括号外。然而，这个表达式对于计算机而言却很费解。
前缀表达式
早在1920年，波兰科学家扬·武卡谢维奇就发明了一种不需要括号的表示法，可以用来表示一个计算表达式。即将操作符号写在操作数之前，也就是前缀表达式，即波兰式（Polish Notation，PN）。
比如2 + 3 * (5 - 1)这个表达式的前缀表达式为+ 2 * 3 - 5 1，阅读这个表达式需要从左至右读入表达式，如果一个操作符后面跟着两个操作数时，则计算，然后将结果作为操作数替换这个操作符和两个操作数，重复此步骤，直至所有操作符处理完毕。
可以看出，这种计算过程也相当复杂，需要多次遍历表达式，而且需要识别一个操作符后面跟着两个操作数这种模式，相比而言，下文中的逆波兰式要更为直接和简单。
前缀表达式的计算机求值：
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算，并将结果入栈，重复上述步骤直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
将中缀表达式转换为前缀表达式：
遵循以下步骤：
- 初始化两个栈：运算符栈s1和存储中间结果的栈s2；
- 从右至左扫描中缀表达式；
- 遇到操作数时，将其压入s2；
- 遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级；
4.1 如果s1为空，或栈顶运算符为右括号“）”，则直接将此运算符入栈；
4.2 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入s1；
4.3 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到4.1与s1中新的栈顶运算符相比较； - 遇到括号时：
5.1 如果是右括号“）”，则直接压入s1；
5.2 如果是左括号“（”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃； - 重复步骤2至5，直到表达式的最左端；
- 将s1中剩余的运算符依次依次弹出并压入s2；
- 依次弹出s2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如，将中缀表达式 1+(2+3)*4-5 转换为前缀表达式的过程如下：
| 扫描到的元素 | S2(栈底->栈顶) | S1 (栈底->栈顶) | 说明 |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 空 | 数字，直接入栈 |
| - | 5 | - | S1为空，运算符直接入栈 |
| ) | 5 | - ) | 右括号直接入栈 |
| 4 | 5 4 | - ) | 数字直接入栈 |
| × | 5 4 | - ) × | S1栈顶是右括号，直接入栈 |
| ) | 5 4 | - ) × ) | 右括号直接入栈 |
| 3 | 5 4 3 | - ) × ) | 数字 |
| + | 5 4 3 | - ) × ) + | S1栈顶是右括号，直接入栈 |
| 2 | 5 4 3 2 | - ) × ) + | 数字 |
| ( | 5 4 3 2 + | - ) × | 左括号，弹出运算符直至遇到右括号 |
| ( | 5 4 3 2 + × | - | 同上 |
| + | 5 4 3 2 + × | - + | 优先级与-相同，入栈 |
| 1 | 5 4 3 2 + × 1 | - + | 数字 |
| 到达最左端 | 5 4 3 2 + × 1 + - | 空 | S1中剩余的运算符 |
因此结果为“ - + 1 * + 2 3 4 5 “。
后缀表达式
后缀表达式也称为逆波兰式（Reverse Polish Notation，RPN），和前缀表达式刚好相反，是将操作符号放置于操作数之后，比如2 + 3 * (5 - 1)用逆波兰式来表示则是：2 3 5 1 - * +。
逆波兰式的计算也是从左往右依次读取，当读到操作符时，将之前的两个操作数做计算，然后替换这两个操作数和操作符，接着读取，重复此步骤。
上面这个步骤可以很容易的用栈来实现：
从左往右依次读取表达式，如果是数字则将该数字压栈，如果是符号，则将之前的两个数字出栈，做计算后，将计算结果压栈，直到表达式读取结束。栈中剩下的一个数就是计算结果。
逆波兰式看起来像波兰式反过来，比如5 + 1的波兰式是+ 5 1，逆波兰式为5 1 +或者1 5 +。也很明显，逆波兰式并不是简单的将波兰式反过来，因为，减法和除法中减数和被减数、除数与被除数是不能交换的，即- 10 5和- 5 10就完全不一样。
后缀表达式的计算机求值：
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式：
与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：
- 初始化两个栈：运算符栈s1和储存中间结果的栈s2；
- 从左至右扫描中缀表达式；
- 遇到操作数时，将其压入s2；
- 遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级：
4.1 如果s1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
4.2 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入s1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
4.3 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到4.1与s1中新的栈顶运算符相比较； - 遇到括号时：
5.1 如果是左括号“(”，则直接压入s1；
5.2 如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃； - 重复步骤2至5，直到表达式的最右边；
- 将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2；
- 依次弹出s2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。
例如，将中缀表达式$ 1+(2+3)*4-5 $转换为前缀表达式的过程如下：
| 扫描到的元素 | S2(栈底->栈顶) | S1 (栈底->栈顶) | 说明 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 空 | 数字，直接入栈 |
| + | 1 | + | S1为空，运算符直接入栈 |
| ( | 1 | + ( | 左括号，直接入栈 |
| ( | 1 | + ( ( | 同上 |
| 2 | 1 2 | + ( ( | 数字 |
| + | 1 2 | + ( ( + | S1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 3 | 1 2 3 | + ( ( + | 数字 |
| ) | 1 2 3 + | + ( | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| × | 1 2 3 + | + ( × | S1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 4 | 1 2 3 + 4 | + ( × | 数字 |
| ) | 1 2 3 + 4 × | + | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| - | 1 2 3 + 4 × + | - | -与+优先级相同，因此弹出+，再压入- |
| 5 | 1 2 3 + 4 × + 5 | - | 数字 |
| 到达最右端 | 1 2 3 + 4 × + 5 - | 空 | S1中剩余的运算符 |
因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）。