【NOI2017模拟.4.1】Shoes【DP决策单调性，主席树，分治】

Description

Data Constraint

Solution

动态规划

如果只有一个鞋柜，那么真的是相当的简单，直接找个中位数就可以了，但是有多个鞋柜该怎么办？
还有一个很显然的性质，就是鞋柜肯定是放在鞋子上的，就是现在放鞋柜的点缩小为2n。
我们的鞋柜肯定是越靠近两个鞋子的中点越优，所以把鞋子按中点排序
那我们考虑可不可以从k-1个鞋柜推到k个鞋柜。
很明显，可以设一个DP:
f[i][j]表示放到第i个点，用了j个鞋柜
那么有一个很显然的DP转移
f[i][j]=min(f[k][j−1]+cost(k+1,i),f[i][j])
如果不考虑cost的话，那么复杂度是 O(n2k) 的，这样明显过不了。因为题目只是说 nk<=1000000
所以这个复杂度还要把n给优化掉。

主席树优化cost

先把眼前的cost给处理掉：
发现可以直接用一个主席树，然后把k+1…i这段区间的中位数贡献的值就是cost。
发现空间有些问题，那么直接把i和j这两位调换一下，然后滚动。
那么我们的复杂度现在是 O(n2klogn)

优化DP——决策是单调的？！

想到还要优化掉一个n，我们应该做一些什么处理。
这是DP：可能可以优化决策。
我们考虑不滚动之前的数组。
那么考虑一下这个决策是否单调：
首先放一个鞋柜肯定是影响连续的一段鞋子
假设f[i][j]是从f[i′][j−1]转移过来的，f[k][j]是从f[k′][j−1]转移过来的，i≥k
如果这个DP不满足决策单调的话，那么可能有i′≤k′
现在的大小关系式i′≤k′≤k≤i
那么就是说
f[i′][j−1]+cost(i′+1,i)≤f[k′][j−1]+cost(k′+1,i)
f[i′][j−1]+cost(i′+1,k)≥f[k′][j−1]+cost(k′+1,k)
然后把后面那条式子翻转一下加上前面的
cost(k′+1,k)+cost(i′+1,i)≤cost(i′+1,k)+cost(k′+1,i)
那么这样就很明显有问题了，因为把这两个决策放在一起来看，如果前面的更优，那么只用放一个
就好了，我们的鞋柜肯定是越靠近两个鞋子的中点越优，且上面这样鞋子不是一段段影响的
所以决策满足单调性
其实，感性来看，我们的鞋柜肯定是越放越后的。
那么既然是单调的，那么枚举k的那以为就可以用分治来搞了。
时间复杂度 O(nklog2n)

Code

#include
#include
#include
#include
#include
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+7;
ll i,j,k,l,n,m,ans,num,da,zh,o;
ll root[maxn];
ll f[2][maxn],w,u,v,pp;
struct node{
    ll size,sum,l,r;
}t[maxn*50];
struct nod{
    ll a,b;
}a[maxn];
bool cmp(nod x,nod y){return x.a+x.b<y.a+y.b;}
void insert(ll y,ll &x,ll l,ll r,ll z){
    x=++num;t[x]=t[y];
    t[x].size++,t[x].sum+=z;
    if(l==r)return;
    ll mid=(l+r)/2;
    if(z<=mid)insert(t[y].l,t[x].l,l,mid,z);
    else insert(t[y].r,t[x].r,mid+1,r,z);
}
ll find(ll y,ll x,ll l,ll r,ll z){
    if(l==r)return (ll)0;
    ll mid=(l+r)/2;
    if(z<=mid)return (t[t[x].r].sum-t[t[y].r].sum)-z*(t[t[x].r].size-t[t[y].r].size)+find(t[y].l,t[x].l,l,mid,z);
    else return z*(t[t[x].l].size-t[t[y].l].size)-(t[t[x].l].sum-t[t[y].l].sum)+find(t[y].r,t[x].r,mid+1,r,z);
}
ll find1(ll y,ll x,ll l,ll r,ll z){
    if(l==r)return l;
    ll mid=(l+r)/2;
    if(t[t[x].l].size-t[t[y].l].size>=z)return find1(t[y].l,t[x].l,l,mid,z);
    else return find1(t[y].r,t[x].r,mid+1,r,z-(t[t[x].l].size-t[t[y].l].size));
}
void fen(ll l,ll r,ll zuo,ll you){
    if(l>r)return;
    ll i=(l+r)/2;
    ll k,p=0;
    fo(k,zuo,min(i-1,you)){
        zh=t[root[i]].size-t[root[k]].size;
        w=find1(root[k],root[i],1,2*da,(zh+1)/2);
        o=f[u][k]+find(root[k],root[i],1,da*2,w);
        if(o;
    }
    fen(l,i-1,zuo,p),fen(i+1,r,p,you);
}
int main(){
    freopen("shoes.in","r",stdin);
    freopen("shoes.out","w",stdout);
//  freopen("fan.in","r",stdin);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);da=1000000001;
    fo(i,1,n){
        scanf("%lld%lld",&a[i].a,&a[i].b);
        a[i].a+=da,a[i].b+=da;
        if(a[i].a>a[i].b)swap(a[i].a,a[i].b);
    }
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    fo(i,1,n){
        insert(root[i-1],root[i],1,da*2,a[i].a);
        insert(root[i],root[i],1,da*2,a[i].b);
    }

    memset(f,127,sizeof(f));ll pp=f[0][0];
    f[0][0]=0;
    fo(j,1,m){
        v=(u^1);fo(i,0,n)f[v][i]=pp;
        fen(1,n,0,n);
        u=v;
    }
    printf("%lld\n",f[u][n]);
}