[CUPOJ] 直角三角形周长 枚举优化 题解

直角三角形周长

题目链接：https://www.cupacm.com/newsubmitpage.php?id=1094
这是一道非常典型的枚举题目，以下会一步一步分析如何对枚举进行优化。

题目描述

一个直角三角形的周长是120的话，那么它的三边可以是20，48，52，或者24，45，51，还有30，40，50，有3种不同的解。现在你想知道如果给定一个直角三角形的周长，那么这个周长最多能有多少解呢？假设边长为整数。

输入

第一行一个$T$,表示$T$组测试数据。$1\le T\le 10000$
每组测试数据占一行仅含一个整数$A$。$0\le A\le 100000$

输出

根据每组测试数据请求出以整数A为周长的直角三角形的个数。（边长都为整数的直角三角形且周长为整数A）

样例输入

2
12
120

样例输出

1
3

题解

这是一道非常典型的枚举题目，以下会一步一步分析如何对枚举进行优化，希望能对其他枚举问题有所启发。

0.三重循环

看到这道题，首先会想到枚举三条边，如果能符合三条边加在一起等于周长，符合勾股定理，则满足条件并计数。

//TLE
ans = 0;
cin >> l;
for (int i = 1; i < l; i++) {
    for (int j = 1; j < l; j++) {
        for (int k = 1; k < l; k++) {
            if (i + j + k == l && i * i + j * j == k * k) {
                ans++;
            }
        }
    }
}
cout << ans / 2 << '\n';

毫无疑问，这样最普通的枚举时间超限了。

1.二重循环

现在，做一点优化，指定$i\le j$，这样可以避免$i$与$j$重复枚举（例如345，435是同一个答案）来节约时间，$k$作为斜边，直接通过$ij$和周长便可以计算出$k$，减少一重循环。

//TLE
ans = 0;
cin >> l;
for (int i = 1; i < l; i++) {
    for (int j = i; j < l; j++) {
        int k = l - i - j;
        if (i * i + j * j == k * k) {
            ans++;
        }
    }
}
cout << ans << '\n';

然而，还是TLE。

2.二重循环再优化

首先，我们先对问题进行数学分析：
已知 $i+j+k=l$ ， $0<i\le j<k$ ，
通过不等式可以得到 $i<l/3$ ， $j<l/2$ 。
在二重循环的基础上，对$i$和$j$的范围进行限制

//716ms
ans = 0;
cin >> l;
for (int i = 1; i < l / 3; i++) {
    for (int j = i; j < l / 2; j++) {
        int k = l - i - j;
        if (i * i + j * j == k * k) {
            ans++;
        }
    }
}
cout << ans << '\n';

现在可以通过这道题目了，优化到了700多毫秒的时间。
再抓住两边之和大于第三边的性质，但是仍然需要600毫秒的时间。

//598ms
ans = 0;
cin >> l;
for (int i = 1; i < l / 3; i++) {
    for (int j = i; j < l / 2; j++) {
        int k = l - i - j;
        if (k < i + j && i * i + j * j == k * k) {
            ans++;
        }
    }
}
cout << ans << '\n';

那么，还能再优化吗？

3.一重循环

让我们重新回到数学上，2个方程2个未知数，我们可以轻松求出$j$关于$i$、$l$的表达式。
已知 $i+k+j=l$ ， $i^2+j^2=k^2$ ，
可以解得 $j=l-l^2/(2l-2i)$ 。
通过数学方法，我们获得了j的表达式，再判断一下j小于l并且j是整数便可。
这样的程序只有一重循环了，我们将程序从一开始的超时优化到了1ms，这是枚举常见的优化方法——利用数学方法来减少循环次数。

//1ms
ans = 0;
cin >> l;
for (int i = 1; i < l / 3; i++) {
    double j = l - (double) l * l / (2 * l - 2 * i);
    if (i < j && j - (int) j < 1e-5) {
        ans++;
    }
}
cout << ans << '\n';

总结

枚举通过穷举，来遍历一个问题的所有可能，找到符合条件的可能，便是答案。
在枚举时，应当使用数学方法来对问题进行优化，可以有效减少枚举的次数，提高算法的效率。