欧拉回路（佛罗莱算法）



若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次,则称该路径为 欧拉路径。若该路径是一个圈，则称为 欧拉(Euler)回路。

具有欧拉回路的图称为 欧拉图（简称E图）。具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

以下判断基于此图的基图连通。

无向图存在欧拉回路的充要条件

一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。

有向图存在欧拉回路的充要条件

一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。

混合图存在欧拉回路条件

要判断一个混合图G（V,E）（既有有向边又有无向边）是欧拉图，方法如下：

假设有一张图有向图G'，在不论方向的情况下它与G同构。并且G'包含了G的所有有向边。那么如果存在一个图G'使得G'存在欧拉回路，那么G就存在欧拉回路。

求欧拉回路的思路：

循环的找到出发点。从某个节点开始，然后查出一个从这个出发回到这个点的环路径。这种方法不保证每个边都被遍历。如果有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点，这条边为起始边，把它和当前的环衔接上。这样直至所有的边都被遍历。这样，整个图就被连接到一起了。

具体步骤：

1。如果此时与该点无相连的点，那么就加入路径中

2。如果该点有相连的点，那么就加入队列之中，遍历这些点，直到没有相连的点。

3。处理当前的点，删除走过的这条边，并在其相邻的点上进行同样的操作，并把删除的点加入到路径中去。

Fleury算法模板如下：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define maxn 1005
using namespace std;
int n,m;//n个顶点，m条边 
int path[maxn][maxn];
stackt;
void dfs(int x)
{
	t.push(x);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(path[x][i])
		{
			path[x][i]=path[i][x]=0;//删除此边 
			dfs(i);
			break; 
		}
	}
}
void  Fleury(int x)
{
	t.push(x);
	while(!t.empty())
	{
		int b=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			if(path[t.top()][i])
			{
				b=1;
				break;
			}
		}
		if(!b)
		{
			printf("%d ",t.top());
			t.pop();
		}
		else
		{
			int y=t.top();
			t.pop();
			dfs(y);
		}
	}
	printf("\n");
 } 
int  main()
{
	int i,j,x,y;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		while(!t.empty())
		   t.pop();
		memset(path,0,sizeof(path));
		for(i=1;i<=m;i++)
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			path[x][y]=path[y][x]=1;//无向图建边 
		}
		int num=0,start=1;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			int degree=0;
			for(j=1;j<=n;j++)
			    if(path[i][j])
			        degree++;
			if(degree%2==1)
			{
				start=i;//如果存在奇数顶点，则从奇数顶点出发，否则从1出发 
			    num++;
			}
		 }
		if(num==0 || num==2)
		   Fleury(start);
		else
		    printf("No Euler Path\n"); 
	}
}