最优组合之背包算法

背包问题(Knapsackproblem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为:给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价格,在限定的总重量内,我们如何选择,才能使得物品的总价格最高。这个问题涉及到了两个条件:一是物品总的大小小于或等于背包的大小,二是物品总的价值要尽量大。

如果我们用子问题定义状态来描述的话可以这样解释

f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。用公式表示:


f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}


具体的解释可以理解为将前i件物品放入容量为v的背包中,只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只涉及前i-1件物品和第i件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。v表示背包的最大容量,c[i]表示第i件物品的大小,w[i]表示第i件物品的价值)


算法如下:

class Fruit{
	private String name;
	private int size;
	private int price;
	
	public Fruit(String name,int size,int price){
		this.name=name;
		this.size=size;
		this.price=price;
	}
	public String getName(){
		return name;
	}
	public int getPrice(){
		return price;
	}
	public int getSize(){
		return size;
	}
}

public class Knapsack{
	public static void main(String[] args){
		final int MAX=8;
		final int MIN=1;
		int[] item=new int[MAX+1];
		int[] value=new int[MAX+1];
		Fruit fruits[]={
			new Fruit("李子",4,4500),
			new Fruit("苹果",5,5700),
			new Fruit("橘子",2,2250),
			new Fruit("草莓",1,1100),
			new Fruit("甜瓜",6,6700)
		};
		for(int i=0;ivalue[s]){//现有的价值是否大于背包为s时的价值
					value[s]=newvalue;
					item[s]=i;//将当前的水果项添加到背包的物品中
				}
			}
		}
		System.out.println("物品\t价格");
		for(int i=MAX;i>MIN;i=i-fruits[item[i]].getSize()){
			System.out.println(fruits[item[i]].getName()+
				"\t"+fruits[item[i]].getPrice());
		}
		System.out.println("合计\t"+value[MAX]);
	}
}

程序运行的过程如下:

i=0时放入李子

背包负重

1

2

3

4

5

6

7

8

s

4

5

6

7

8

p

0

1

2

3

4

value

0

0

0

4500

4500

4500

4500

9000

item

0

0

0

0

0

i=1时放入苹果

背包负重

1

2

3

4

5

6

7

8

s

5

6

7

8

p

0

1

2

3

value

0

0

0

4500

5700

5700

5700

9000

item

0

1

1

1

0

i=2放入橘子

背包负重

1

2

3

4

5

6

7

8

s

2

3

4

5

6

7

8

p

0

1

2

3

4

5

6

value

0

2250

2250

4500

5700

6750

7950

9000

item

2

2

0

1

2

2

0

i=3放入草莓

背包负重

1

2

3

4

5

6

7

8

s

1

2

3

4

5

6

7

8

p

0

1

2

3

4

5

6

7

value

1100

2250

3350

4500

5700

6800

7950

9050

item

3

2

3

0

1

3

2

3

i=4放入甜瓜

背包负重

1

2

3

4

5

6

7

8

s

6

7

8

p

0

1

2

value

1100

2250

3350

4500

5700

6800

7950

9050

item

3

2

3

0

1

3

2

3

由最后一个表格可以知道,在背包负重8的时候,最多得到价值9050的水果,这个时候可以得到装入的水果是3号水果草莓,那么剩下的(8-1=7)个大小空间,可以知到为2号水果也就是橘子,同理下一步可以知道放入的水果是1号水果苹果。此时获得的最优解的价值就是9050,放入的水果是草莓、橘子和苹果。

到此,我们的背包问题已经解决,要了解上述算法,需要读者分析出背包算法中的每一步都做了什么操作,这一点可以通过上述的表格看出,希望本文对读者理解背包算法有所帮助!


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