最优组合之背包算法

背包问题(Knapsackproblem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。这个问题涉及到了两个条件：一是物品总的大小小于或等于背包的大小，二是物品总的价值要尽量大。

如果我们用子问题定义状态来描述的话可以这样解释：

用f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。用公式表示:

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}或f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

具体的解释可以理解为将前i件物品放入容量为v的背包中，现只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只涉及前i-1件物品和第i件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。（v表示背包的最大容量，c[i]表示第i件物品的大小，w[i]表示第i件物品的价值）

算法如下：

class Fruit{
	private String name;
	private int size;
	private int price;
	
	public Fruit(String name,int size,int price){
		this.name=name;
		this.size=size;
		this.price=price;
	}
	public String getName(){
		return name;
	}
	public int getPrice(){
		return price;
	}
	public int getSize(){
		return size;
	}
}

public class Knapsack{
	public static void main(String[] args){
		final int MAX=8;
		final int MIN=1;
		int[] item=new int[MAX+1];
		int[] value=new int[MAX+1];
		Fruit fruits[]={
			new Fruit("李子",4,4500),
			new Fruit("苹果",5,5700),
			new Fruit("橘子",2,2250),
			new Fruit("草莓",1,1100),
			new Fruit("甜瓜",6,6700)
		};
		for(int i=0;ivalue[s]){//现有的价值是否大于背包为s时的价值
					value[s]=newvalue;
					item[s]=i;//将当前的水果项添加到背包的物品中
				}
			}
		}
		System.out.println("物品\t价格");
		for(int i=MAX;i>MIN;i=i-fruits[item[i]].getSize()){
			System.out.println(fruits[item[i]].getName()+
				"\t"+fruits[item[i]].getPrice());
		}
		System.out.println("合计\t"+value[MAX]);
	}
}

程序运行的过程如下：

i=0时，放入李子

背包负重	1	2	3	4	5	6	7	8
s	－	－	－	4	5	6	7	8
p	－	－	－	0	1	2	3	4
value	0	0	0	4500	4500	4500	4500	9000
item	－	－	－	0	0	0	0	0

i=1时，放入苹果

背包负重	1	2	3	4	5	6	7	8
s	－	－	－	－	5	6	7	8
p	－	－	－	－	0	1	2	3
value	0	0	0	4500	5700	5700	5700	9000
item	－	－	－	0	1	1	1	0

i=2时，放入橘子

背包负重	1	2	3	4	5	6	7	8
s	－	2	3	4	5	6	7	8
p	－	0	1	2	3	4	5	6
value	0	2250	2250	4500	5700	6750	7950	9000
item	－	2	2	0	1	2	2	0

i=3时，放入草莓

背包负重	1	2	3	4	5	6	7	8
s	1	2	3	4	5	6	7	8
p	0	1	2	3	4	5	6	7
value	1100	2250	3350	4500	5700	6800	7950	9050
item	3	2	3	0	1	3	2	3

i=4时，放入甜瓜

背包负重	1	2	3	4	5	6	7	8
s	－	－	－	－	－	6	7	8
p	－	－	－	－	－	0	1	2
value	1100	2250	3350	4500	5700	6800	7950	9050
item	3	2	3	0	1	3	2	3

由最后一个表格可以知道，在背包负重8的时候，最多得到价值9050的水果，这个时候可以得到装入的水果是3号水果草莓，那么剩下的（8-1=7）个大小空间，可以知到为2号水果也就是橘子，同理下一步可以知道放入的水果是1号水果苹果。此时获得的最优解的价值就是9050，放入的水果是草莓、橘子和苹果。

到此，我们的背包问题已经解决，要了解上述算法，需要读者分析出背包算法中的每一步都做了什么操作，这一点可以通过上述的表格看出，希望本文对读者理解背包算法有所帮助！