线性代数笔记16

投影

两个特殊的例子，

1. 如果b就A的列空间中，则投影就是本身
2. 如果b垂直于A的列空间，则投影就是 一个点，就是个零。

对于2来讲，b如果垂直于A的列空间，则b就在A的转置的零空间中
则又，所以又2.

对于1来讲，如果b就在A的列空间内，则b=Ax
则，所以有1.

则
p是投影，e也是投影，（投影到）
e垂直于A的列空间

最优直线

接上一节：

矩阵方程可以写成：

Ax=b就有对应的了
求最小的e

求最小，就是向量长度最小化
这就是最小二乘了

解方程：
找到
带入方程

得到

带入y=C+Dx
可以求出
然后
可以看到p，e的点积为0，因为两个向量是垂直的。

证明

如果矩阵A的各列线性无关，则
是可逆的

证明：
如果是可逆的
则 x只有零解
两边同乘x的转置

为向量长度的平方

又因为A是各列线性无关的，所以x只有零解

命题

互相垂直的单位向量一定线性无关
下一节证明
并看看，标准正交向量组又什么优点，以及如何使向量组标准正交化