数论 数学的皇冠

一 整数

整数的离散性：对于整数a,b，如果a

1. 正整数a,b,c,d满足a/b+c/d<1，a+c

2. 给定正整数n,m(m

3. Farey: 给定正整数n，将所有既约分数a/b(0<=a<=b<=n)从小到大排列，称为n阶Farey序列。设b/a

4. Beatty: 设正无理数对a,b满足1/a+1/b=1，设A={[a],[2a],[3a],...},B={[b],[2b],[3b],...}，则A与B交为空且并为正整数全集。

二 同余

说明不存在可以取合适的模数检验，说明存在可以借同余系运用抽屉原理（当然这些只是较为常见的方法）。

结合中国剩余定理、欧拉定理等常见定理可以更方便地解决的问题。

三 进制

5. 对于任意正整数k，证明存在一个2的幂次，它的末k位均为1或2。

6. 证明存在一个（无限大的）非负整数集合S，使得每个非负整数都能且唯一地被表示为a+2b+4c的形式，其中a,b,c是S中的元素（a,b,c之间可以重复）。

7. Lucas: C(n,m)≡C(n mod p,m mod p)*C([n/p],[m/p]) (mod p)。

8. 在1...10000种选出2000个数，必有三个数形成等差数列吗？

四 不定方程

如果一个不定方程有整数解，那么(i)这个方程必定有实数解，(ii)且这个方程在任意模数意义下必定有解。

恒等变形并加之枚举是简单有效的手段，尝试同余分析往往能够打开局面，陷入困境时无穷递降分析是一手妙招。

9. 试求一个关于x,y的整系数多项式f(x,y)，使得不定方程满足上面的(i)(ii)，却没有整数解。

10. 求方程2^x=13^y+3的正整数解。

11. 求方程5^x=3^y+2的正整数解。

12. 证明方程x^2+y^2-19xy-19=0没有整数解。

13. Markov: 求方程x^2+y^2+z^2=3xyz的正整数解。

14. Pell: 求方程x^2-dy^2=1的正整数解，已知在所有正整数解(x,y)中，x+y*sqrt(d)的最小值为x1+y1*sqrt(d)。

15. 求方程x^(x+y)=y^(y-x)的正整数解。

16. 求方程x^y=y^x的正有理数解。

17. 求方程x^n+y^n=(x+y)^m的正整数解，满足n>1且m>1。

五 （整系数）多项式

先抛开整数，简单而重要的因式定理：如果f(z)=0，那么f(x)包含因式(x-z)。

对于整系数多项式f(x)=a_n*x^n+...+a_1*x+a_0，如果gcd(a_0,a_1,...,a_n)=1，称f(x)为本原多项式。

另外地，如果f(x)不能表示为两个次数大于0的整系数多项式的乘积，称f(x)在整数环上既约。同时类似正整数与质数的关系，这里不加证明地给出，在忽略因式顺序和常数因子时，将一个整系数多项式被唯一地分解为既约多项式的乘积。

很多同余分析的手段在这类问题中仍然有一定体现，f(x+p)≡f(x) (mod p)，以及f(x)=0的整数根必然整除a_0都是很常见的结论。

18. Gauss: 证明两个本原多项式的乘积一定是本原多项式。

19. Eisenstein: 对于n次整系数多项式f(x)，如果存在质数p，使得p整除a_0,a_1,...,a_n-1，但不整除a_n，且p^2不整除a_0，证明f(x)是既约多项式。

20. 对于整系数多项式f(x)，若存在整数a,b,c使得f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a，证明a=b=c。

21. 对于整系数多项式f(x)，若f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)不是5的倍数，证明f(x)=0没有整数根。

六 （一般）多项式

这里不规定在整数环上讨论，那么根据代数基本定理，在复数域中只有一次多项式是既约的，而在实数域中只有一次多项式和二次多项式是既约的。

在确定未知多项式时，往往可以代一些点值（可以考虑代复值）或者构造多项式作为模数，并利用多项式的基本性质来说明。

韦达定理、拉格朗日插值法以及它们的推论用处颇多。

22. 证明一个整系数多项式在整数环上的既约和在有理数域上的既约是一致的，即一个在整数环上既约的多项式不能分解为两个次数大于0的有理系数的多项式的乘积。

23. 求满足xf(x-1)=(x-26)f(x)的多项式f(x)。

24. 对于n次多项式f(x)，若所有a_i均非负，且a_0=a_n=1，且f(x)=0有n个实数根，证明f(2)>=3^n。

25. 已知g(x)=x^13+1，求满足f(g(x))=g(f(x))的多项式f(x)。

26. 若n是正偶数，f(x)和g(x)都是n次多项式，且f(g(x))=g(f(x))，证明f(x)=g(x)。如果n是正奇数则还有什么可能性？