数据结构之优先队列--二叉堆(Java实现)

  前言

              数据结构队列的学习中，我们知道队列是先进先出的。任务被提交到队列中，按照先进先出的原则

     对各个任务进行处理。不过在现实的情况下，任务通常有着优先级的概念，例如短任务、管理员的操作

     应该优先执行。这是使用队列就无法描述了，这种特殊的应用我们使用一种称之为优先队列(堆)的方式

     来解决。

  优先队列

            和队列一样优先队列也支持入队和出队操作，不过区别在于优先队列的出队操作出队的是优先级最高

      的元素，这里以元素的大小来判定任务的优先级，越小，优先级越高。优先队列的模型如下图：

                

           基于这种优先队列的模型,我们可以多种方法对其进行实现,一种常用的方法就是使用链表以O(1)执

     行 插入操作,,遍历最小元素并删除花费O(N)时间。基于优先队列的插入操作一般情况下多于删除操作这

     一情况， 前者是一种较好的实现。

           另外可以使用二叉查找树来实现，这样一来插入和删除操作都是O（logN），不过二叉树支持多种

    操作用以实现优先队列未免有点杀猪用牛刀的感觉。  下面将介绍二叉堆实现优先队列。

   二叉堆

              二叉堆就结构性质上来说就是一个完全填满的二叉树，满足结构性和堆序性。结构性不必多说，

      就是完全二叉树应该满足的树结构。堆序性指的是：父节点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何

      一个子节点的键值，且每个节点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

               最大堆：当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值。

               最小堆：当父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

                    

                   上面图片直接沿用的维基百科上的，笔者懒得在自己做个图了。

       结构性质

                上面对二叉堆的结构性质略有提及，这里我们进行下详细说明。看看二叉堆是如何

          实现的。

                 

                        仔细观察上述完全二叉树的结构，我们可以发现的是对于任意一个位置i，其

                结点的左孩子在2i的位置，右孩子在2i+1的位置上，基于上述的性质我们可以使用

                数组来实现二叉堆。

          

                     由此二叉堆可以使用一个数组和一个代表当前堆的大小的整数组成。考虑到涉及到

                元素大小的比较，该数组元素实现了Comparable接口。

public class BinaryHeap
{
    /**
     * Construct the binary heap.
     */
    public BinaryHeap( )
    {
        this( DEFAULT_CAPACITY );
    }

    /**
     * Construct the binary heap.
     * @param capacity the capacity of the binary heap.
     */
    public BinaryHeap( int capacity )
    {
        currentSize = 0;
        array = new Comparable[ capacity + 1 ];
    }
 private static final int DEFAULT_CAPACITY = 100;

    private int currentSize;      // Number of elements in heap
    private Comparable [ ] array; // The heap array
} 

                    以上代码显示的是一个优先队列的架构。至于其提供的具体操作，我们先看看

               二叉堆的堆序性。

          堆序性

                   简单的说保证优先队列的删除操作快速执行是堆序性质，基于这个特点我们需要找出

              最小元素，那么最小元素应该在根结点上，也就是最小堆。这样我们就能以常数时间执行

              findMin()操作了。

        二叉堆基本操作

                    基于二叉堆的堆序性，我们来看看二叉堆基本操作是如何实现的吧！

             insert(插入)

                     根据优先队列的模型，二叉堆实现的优先队列应该具备插入操作，不过根据其对序性

                 具体的插入操作是如何进行的呢？看下面的演示：

                     二叉堆插入元素14的情况。

             

                 

           

                     为将一个元素 X 插入到堆中，我们在下一个可用位置创建一个空穴，否则该堆将不是完全数。

               如果 X 可以放在该空穴中而不破坏堆的序，那么插入完成。否则，我们把空穴的父节点上的元素

              移入该空穴中，这样，空穴就朝着根的方向上冒一步。继续改过程直到 X 能被放入空穴中为止。

                     这种实现过程称之为上滤：新元素在堆中上滤直到找出正确的插入位置。

                     实现代码： 

	public void insert( Comparable x ) throws Overflow
        {
            //这里没有进行扩容处理
            if( isFull( ) )
                throw new Exception( );

                // Percolate up
            int hole = ++currentSize;
            //上滤,首先找到插入位置,之后元素交换一次
            for( ; hole > 1 && x.compareTo( array[ hole / 2 ] ) < 0; hole /= 2 )
                array[ hole ] = array[ hole / 2 ];
            array[ hole ] = x;
        }

                     可以知道的是当插入的元素小于堆中所有的元素的时候，必须上滤到根，插入时间为O(logN）

           deleteMin(删除最小元)

                    基于优先队列的模型,出队的应该是最小元,按照最小堆的堆序性，找出最小元十分容易，麻烦

               的地方在于删除之后破坏了结构型，这是需要进行一些额外的操作。

                    当删除一个最小元时，要在根节点建立一个空穴。由于现在堆少了一个元素，因此堆中最后一

              个元素 X 必须移动到该堆的某个地方。如果 X 可以直接被放到空穴中，那么 deleteMin 完成。

              不过这一般不太可能，因此我们将空穴的两个儿子中比较小者移入空穴，这样就把空穴向下推了

              一层。重复该步骤直到 X 可以被放入空穴中。因此，我们的做法是将 X 置入沿着从根开始包含

             最小儿子的一条路径上的一个正确的位置。

                      演示过程如下:

                

                      首先我们删除根元素13,建立一个空穴,之后判断元素31是否可以放入这个空穴中,

                   明显不能,会破坏堆序性.

                 

                      之后我们选择较小的左儿子放入空穴,同时空穴下滑一层,之后判断31是否置于空穴中

              

                       同上,26置于空穴中,空穴下滑一层,31可以置于空穴中,过程结束。

                    这一种操作过程称之为下滤:空穴一步步下滑.

                      源码实现:

public Comparable deleteMin( )
        {
            if( isEmpty( ) )
                return null;

            Comparable minItem = findMin( );
            array[ 1 ] = array[ currentSize-- ];
            percolateDown( 1 );

            return minItem;
        }
private void percolateDown( int hole )
        {
      int child;
      Comparable tmp = array[ hole ];

      for( ; hole * 2 <= currentSize; hole = child )
            {
          child = hole * 2;
          if( child != currentSize &&
                 array[ child + 1 ].compareTo( array[ child ] ) < 0 )
              child++;
          if( array[ child ].compareTo( tmp ) < 0 )
              array[ hole ] = array[ child ];
                else
             break;
            }
         array[ hole ] = tmp;
        }

                    同样的这个操作在最坏的情况下为O(logN),平均而言也为O(logN).

       优先队列其他操作

                上面对二叉堆实现的优先队列的两个基本操作做了一些讲解。我们知道的是在将任务提交给

             优先队列的时候有时候我们需要根据实际情况修改任务的优先级。

              decreaseKey(降低关键字的值)

                      desreaseKey(p,m)操作降低在位置p处的值，降值幅度为正m，不过这种方式很可能破坏

                  堆序性，因此需要通过上滤操作进行调整。

                      这种方式能够动态的提高某个任务的优先级，使其在能够优先开始。

              increaseKey(降低关键字的值)

                      与上个操作相反，降低任务的优先级。

              delete(删除)

                      删除堆中某个任务，不过必须先执行decreasekey(P，+ ∞),然后执行deleteMin操作

                   这种操作的任务并不是正常终止的，而是被用户终止的。

       构造二叉堆

                    上述讲了二叉堆的方式实现优先队列。那么一个二叉堆又是如何构造的呢？

               简单的我们可以认为它可以使用N个相继的insert操作来完成。每个insert最坏时间为O(logN)

               则其构建时间为O（N）。

                    更为常用的算法是先保持其结构性，之后再通过检查每个位置，下滤操作使其满足堆序性。

           

                      一开始满足结构性，但是并不满足堆序性，我们在元素70的位置进行下滤操作。

                      代码实现情况如下：       

	public BinaryHeap( T[] items ){
		currentSize = items.length;
		array = (T[]) new Comparable[ (currentSize + 2) * 11 / 10 ];
		
		int i=1;
		for( T item : items ){
			array[ i++ ] = item;
		}
		buildHeap();
	}
	
	private void buildHeap(){
		for( int i = currentSize/2; i>0; i-- )
			percolateDown( i );
	}

                 完整源码：

package com.kiritor;

import java.util.Arrays;


public class BinaryHeap
{
    
    public BinaryHeap( )
    {
        this( DEFAULT_CAPACITY );
    }
    public BinaryHeap( Comparable[] items ){  
        currentSize = items.length;  
        array = new Comparable[ (currentSize + 2) * 11 / 10 ];  
          
        int i=1;  
        for( Comparable item : items ){  
            array[ i++ ] = item;  
        }  
        buildHeap();  
    }  
    
    public BinaryHeap( int capacity )
    {
        currentSize = 0;
        array = new Comparable[ capacity + 1 ];
    }

    public void insert( Comparable x ) 
    {
        
            // Percolate up
        int hole = ++currentSize;
        for( ; hole > 1 && x.compareTo( array[ hole / 2 ] ) < 0; hole /= 2 )
            array[ hole ] = array[ hole / 2 ];
        array[ hole ] = x;
    }

  
    public Comparable findMin( )
    {
        if( isEmpty( ) )
            return null;
        return array[ 1 ];
    }

   
    public Comparable deleteMin( )
    {
        if( isEmpty( ) )
            return null;

        Comparable minItem = findMin( );
        array[ 1 ] = array[ currentSize-- ];
        percolateDown( 1 );

        return minItem;
    }

   
    private void buildHeap( )
    {
        for( int i = currentSize / 2; i > 0; i-- )
            percolateDown( i );
    }

   
    public boolean isEmpty( )
    {
        return currentSize == 0;
    }

    
    public boolean isFull( )
    {
        return currentSize == array.length - 1;
    }

   
    public void makeEmpty( )
    {
        currentSize = 0;
    }

    private static final int DEFAULT_CAPACITY = 100;

    private int currentSize;      // Number of elements in heap
    private Comparable [ ] array; // The heap array

   
    private void percolateDown( int hole )
    {
      int child;
     Comparable tmp = array[ hole ];

     for( ; hole * 2 <= currentSize; hole = child )
        {
          child = hole * 2;
          if( child != currentSize &&
                 array[ child + 1 ].compareTo( array[ child ] ) < 0 )
              child++;
          if( array[ child ].compareTo( tmp ) < 0 )
              array[ hole ] = array[ child ];
            else
              break;
        }
      array[ hole ] = tmp;
    }

        // Test program
    public static void main( String [ ] args )
    {
        int numItems = 50;
        BinaryHeap h = new BinaryHeap( numItems );
        int i = 37;

        try
        {
            for( i = 37; i != 0; i = ( i + 37 ) % numItems )
                h.insert( new Integer( i ) );
             System.out.println(Arrays.toString(h.array));
             System.out.println(h.findMin());
             h.deleteMin();
             System.out.println(Arrays.toString(h.array));
        }
        catch( Exception e )
          { System.out.println( "Overflow (expected)! " + i  ); }
    }
}

                     简单执行结果：

[null, 1, 2, 7, 6, 3, 12, 10, 9, 8, 5, 4, 13, 24, 22, 11, 34, 21, 19, 16, 27, 17, 15, 14, 25, 38, 31, 49, 36, 23, 18, 47, 48, 35, 42, 45, 46, 32, 29, 43, 40, 30, 37, 41, 33, 28, 20, 39, 44, 26, null]
1
[null, 2, 3, 7, 6, 4, 12, 10, 9, 8, 5, 14, 13, 24, 22, 11, 34, 21, 19, 16, 27, 17, 15, 20, 25, 38, 31, 49, 36, 23, 18, 47, 48, 35, 42, 45, 46, 32, 29, 43, 40, 30, 37, 41, 33, 28, 26, 39, 44, 26, null]

                                                                                                                              By      Kiritor

                                                                                                                              2013 /06 /16   父亲节