斐波那契数列的递归与循环实现及复杂度分析

         目录

一、斐波那契数列的定义

二 、递归实现

三、循环实现

四、补充

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一、斐波那契数列的定义

二 、递归实现

经典例题（杭电2041）:

 AC代码：

#include 

using namespace std;
int f[41];

int main(){
    int num,m;
    cin >> num;
    while(num--){
        f[1] = 1;
        f[2] = 1;
        for(int i = 3;i < 41;i++){
            f[i] = f[i-1] + f[i-2];
        }
        cin >> m;
        cout << f[m] << endl;
    }
    return 0;
}

 复杂度分析（以 为例）：

• 注意计算复杂度规则：关注最高次数项，忽略常数与系数
• 时间复杂度：为二叉树的所有节点个数
  • 在本例中，二叉树的高度 为
  • 图中共有 个节点，即 ，可以理解为 ，也就是层数为 的满二叉树( ）
  • 的层数为 层， 则  有 层，所有节点个数为 ，忽略常数与系数，则为
  • 时间复杂度为
• 空间复杂度为树的高度：h 即

分析：递归实现的代码简洁易懂，但是需要注意的是，递归由于是函数调用自身，而函数调用是有时间和空间的消耗的，每一次函数调用，都需要在内存栈中分配空间以保存参数、返回地址及临时变量，而往栈里压入数据和弹出数据都需要时间，因而递归实现的效率不如循环。 

 三、循环实现

#include
int main()
{
    int a = 0, b = 1, n = 5;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        int t = b;
        b = a + b;
        a = t;
    }
    printf("%d\n", b);
    return 0;
}

时间复杂度：O(N)，空间复杂度：O(1)。

四、补充

复杂度O符号表示取上界，Ω表示取下界，Θ当且仅当O() = Ω()时成立。

对于下列题目：

Θ(Fn)中的Fn表示时间复杂度与Fn的取值有关，事实上，时间复杂度只与我们求的是第几项有关，而与第几项的取值无关。

常用时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是

O(1）<  O(logN) < O(N) < O(NlogN) < O(N^2) < O(N^3) < O(2^N) < O(N!)  <  O(N^N)