Group Theory
Group Theory
群的定义
群 G G G 是一个定义在二元组 G ( S , ∗ ) G(S, *) G(S,∗) 上的代数结构。其中 S S S 是一个集合， ∗ * ∗ 代表一个二元运算符。
一个群需要满足以下四条性质
- 封闭性
- 结合律
- 单位元
- 逆元
特别注意群不一定满足交换律。
群可以通过图论模型，顶点/边集来形象理解。
置换群
置换
定义在 n n n 个元素 1 , 2 , … , n 1, 2, \dots, n 1,2,…,n 上的一个置换
( 1 , 2 , … , n a 1 , a 2 , … , a n ) \begin{pmatrix}1,2,\dots,n\\a_1, a_2, \dots, a_n\end{pmatrix} (1,2,…,na1,a2,…,an)
表示 1 1 1 被 a 1 a_1 a1 取代， 2 2 2 被 a 2 a_2 a2 取代，以此类推。
显然，置换应该具有结合律，即
( 1 , 2 , … , n a 1 , a 2 , … , a n ) ( a 1 , a 2 , … , a n b 1 , b 2 , … , b n ) = ( 1 , 2 , … , n b 1 , b 2 , … , b n ) \begin{pmatrix}1,2,\dots,n\\a_1, a_2, \dots, a_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\b_1, b_2, \dots, b_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,2,\dots,n\\b_1, b_2, \dots, b_n\end{pmatrix} (1,2,…,na1,a2,…,an)(a1,a2,…,anb1,b2,…,bn)=(1,2,…,nb1,b2,…,bn)
同样的，置换群没有交换律。
循环
循环是一种特殊的置换，循环中可以有未出现的元素，这些元素在轮换过程中位置不动。具体有
( a 1 , a 2 , … , a n ) = ( a 1 , a 2 , … , a n a 2 , a 3 , … , a 1 ) (a_1, a_2, \dots, a_n) = \begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\a_2, a_3, \dots, a_1\end{pmatrix} (a1,a2,…,an)=(a1,a2,…,ana2,a3,…,a1)
定义两个循环不相交为两个循环中不存在相同的元素。
那么一定可以将任意一个置换分解为若干循环相乘的形式。
陪集
子群
若 H H H 为 G G G 的一个子群，那么即意味着 S H ⊂ S G S_H \subset S_G SH⊂SG，且两群的运算相同。
观察到 H H H 即是 G G G 的强连通分量。
陪集
设 H H H 是群 G G G 的子群，对于 a ∈ G ， { a h ∣ h ∈ H } a\in G，\{ah\mid h\in H\} a∈G，{ah∣h∈H}表示 H H H 的一个左陪集，记作 a H aH aH。
同理有 { h a ∣ h ∈ H } \{ha\mid h\in H\} {ha∣h∈H} 表示 H H H 的一个右陪集，记作 H a Ha Ha。
陪集具有许多良好的性质
- H H H 任意陪集的大小都相等，都等于 ∣ H ∣ \mid H \mid ∣H∣
- a ∈ a H a \in aH a∈aH，且 a ∈ H a a \in Ha a∈Ha
- 用单位元即可证
- a ∈ H ⟺ a H = H a \in H \iff aH = H a∈H⟺aH=H
- b ∈ a H ⟺ b H = a H b \in aH \iff bH = aH b∈aH⟺bH=aH
- 对于 G G G 的子群 H H H ， H H H 的任意两个左(右)陪集要么相等，要么无相交
- ∪ x ∈ G H x = G \cup _{x \in G} Hx = G ∪x∈GHx=G
相关定理
拉格朗日定理
若 H H H 是有限群 G G G 的子群，那么有 $\mid H \mid , \mid ,\mid G\mid $
运用一下陪集的几条性质即可得证
轨道-稳定集定理
设 G G G 是 [ 1 , n ] [1, n] [1,n] 上的一个置换群， E k E_k Ek 是 [ 1 , n ] [1, n] [1,n] 上 k k k 的等价类（即 k k k 可以通过置换得到的不同元素个数）， Z k Z_k Zk 是使得元素 k k k 不动的置换数量，那么就有
∣ G ∣ = ∣ E k ∣ × ∣ Z k ∣ |G| = |E_k| \times |Z_k| ∣G∣=∣Ek∣×∣Zk∣
Burnside \text {Burnside} Burnside 引理
设 G G G 是 [ 1 , n ] [1, n] [1,n] 上的一个置换群， c ( f i ) c(f_i) c(fi) 表示置换 f i f_i fi 作用下不动点的个数，即置换下长度为 1 1 1 的循环个数，那么通过 G G G 可以得到的等价类个数 L L L 满足
L = 1 ∣ G ∣ ∑ i = 1 ∣ G ∣ c ( f i ) L = \frac{1}{|G|} \sum \limits_{i = 1}^{|G|} c(f_i) L=∣G∣1i=1∑∣G∣c(fi)
可以通过图论模型考虑这个定理。所求 L L L 实际上就是图中的连通块个数，每个连通块 b i b_i bi 的大小就应该是轨道-稳定集定理中的 E k E_k Ek，因此对于任意一个点 k k k，它对答案的贡献就应当是 1 E k \frac{1}{E_k} Ek1。
∴ L = ∑ 1 E k ∴ L = 1 ∣ G ∣ ∑ Z k = 1 ∣ G ∣ ∑ c ( f i ) \therefore L = \sum \frac{1}{E_k} \\ \therefore L = \frac{1}{|G|} \sum Z_k \\ = \frac{1}{|G|} \sum c(f_i) ∴L=∑Ek1∴L=∣G∣1∑Zk=∣G∣1∑c(fi)
因此引理得证。
Polya \text {Polya} Polya 定理
鉴于 Burnside \text {Burnside} Burnside 引理枚举的时间复杂度过高，因此使用更易于计算的 Polya \text {Polya} Polya 定理。
设 m ( f i ) m(f_i) m(fi) 为置换 f i f_i fi 作用下循环节的个数（循环分解出多少不相交循环），若 G G G 将 [ 1 , n ] [1, n] [1,n] 使用 k k k 种不同的颜色进行染色，可以得到等价类个数 L L L 满足
L = 1 ∣ G ∣ ∑ i = 1 ∣ G ∣ k m ( f i ) L = \frac{1}{|G|} \sum \limits_{i = 1}^{|G|} k^{m(f_i)} L=∣G∣1i=1∑∣G∣km(fi)