利用FFT 及 IFFT实现傅立叶正反变换

           

貌似是很久没有写日志了，前段时间一直很想写关于矩阵特征值在迭代算法中的应用，也自己展望了一下可以从另一个角度来分析Turbo码中的迭代算法。但是，梦想都给人以美好的幻觉，现实逼迫你不得不踏实的做好手头的工作，还是从最基本的最重要的傅立叶正反变换说起。

       毕业设计貌似也跟仿真有关，所以重拾matlab来做一些小的仿真，先说说利用FFT 和 IFFT来实现傅立叶正反变换吧。看了很多资料，网上这方面的代码我觉得都太凌乱，没有把问题说清楚，有些直接就是错误的。下面分别以例子来说明：

  

例1：求在区间[-1,1]间的矩形信号的傅立叶变换。

（1）利用抽样产生离散时间

fs = 10;
ts = 1/fs;%时域抽样间隔
t = [-5:ts:5];
x = zeros(size(t));
x(41) = 0.5;
x(42:60) = ones(1,19);
x(61) = 0.5;
%x = 2*sinc(2*t);
%绘制时域波形
subplot(211)
plot(t,x);
title('矩形波时域图像');
xlabel('t');
ylabel('x(t)时域大小');

 （2）FFT算法实现（核心关键）

       核心解释：按ts的间隔(ts = 1/fs)对时间域抽样N点并且做FFT算法后，得到的是对应与频域[0,fs]间的N个值，频率分辨率为df = fs/N;同时我们知道fs其实对应着0频率，fs/2对应着-fs/2即有一个频率反转fftshift函数

N = 1024;%所做的FFT点数，2的次幂能实现快速算法
X = fft(x,N);%求得x(n)的DFT结果
X = X/fs;%由于时域抽样会有一个 1/Ts的衰减，所以必须乘以Ts也即除以fs
df = fs/N;%频率分辨率
f = [0:df:df*(N-1)] - fs/2;%频率倒转

%绘制频谱图
subplot(212)
plot(f,fftshift(abs(X)));%把数据‘循环倒转’
title('傅立叶正变换');
xlabel('频率')

结果如下：

  注：由于时域采样点较少，所以时域波形略有失真

例二：把上述矩形波傅立叶变换F(f) = 2*sinc(2f)用ifft实现傅立叶反变换，意思变换到矩形波时域图像。

  （1）产生频域抽样波形

 

T = 10;%频域采样对应的时域 平移周期
fc = 1/T;%频率抽样间隔
ff = [-10:fc:10];%
F = 2*sinc(2*ff);%矩形波的频谱
figure(2)
subplot(211)
plot(ff,F);
title('频域采样序列波形')
xlabel('f')
ylabel('频率采样大小')

  （2）IFFT算法实现

         核心：还是一样，先进行IFFT计算，然后实现时域倒转，这里要注意从频域到fft有一个尺度变换存在，即频域抽样点要乘以 频域总宽度 题目中为10-（-10）= 20；

y = ifft(F*20);
dt = T/length(y);
tt = [0:dt:dt*(length(y)-1)] - T/2;
yef = ifftshift(abs(y));
%绘制频域波形  对应的 时域波形
subplot(212)
plot(tt,(ifftshift(abs(y))));
title('傅立叶反变换')
xlabel('t')

结果如下：

其实，还有个问题，没有解决，当增加ifft变换点数时，幅值会相应变换，还没完全弄懂，主要是DSP忘得差不多了，赶紧补吧！晚安~