数学之美读书笔记

这是一本通俗易懂的科技好书。

第一章：文字和语言vs数字和信息

    1. 文字是信息的载体。信息传播的基本模式：

            源信息 -> 编码 -> 信道传输 -> 接收者解码 -> 还原信息

    2. 不同的语言，其表达的能力是等价的。这个结论是翻译的基础。

    3. 阿拉伯数字是印度人人发明的，由阿拉伯人传播到欧洲并发扬光大。

    4. 古汉语的文言文是压缩的汉语。古人日常口头交流用的是白话文，与现在的口头语相差不大。

        那为什么有文言文呢？当时没有高效的保存文字的方法，文字需要刻在竹子、龟壳上，比较费时费力，于是古人就把语言压缩成简练的文言文，

        以节省信息存储量。道理：当传输信道比较窄的时候，信息就要压缩编码。

    5. 语法不能覆盖所有的语言，即无法消除所有的“病句”，试图消除“病句”，纯化语言是徒劳的。

        “到底是语言对，还是语法对？”，前者从语法规则出发，后者从真实语言（语料）出发。现代自然语言处理的成就证明了语言获胜。

第二章：自然语言处理-从规则到统计

    1. “计算机能否处理自然语言？处理语言的方式与人类是否相同？”答案都是肯定的。

    2. 怎样验证一个机器是否是只能的？ 方法是：让人和机器交流，当人感觉不到对方是机器时，就说明机器有智能了。

    3. 自然语言处理的历史误区：“要让机器处理自然语言，必需先让机器具有人的智能”，这叫”鸟飞派“。认为，造飞机必须模仿鸟的

        飞行机理。实际上现代飞机是建立在流体力学基础上的。

    4. 由贾里尼克（Frederick Jelinek)和他领导的IBM华生实验室通过统计的方法将语言识别率从70%提高到90%，基于统计的自然语言处理研究

        方法宣告成功。

第三章：统计语言模型

    1. 语言从一开始就是上下文相关的信息表达和传递方式。统计语言模型就是为处理上下文相关的语言而建立的数学模型。

    2. 基于规则的语言处理过程： 分析一个句子的序列是否合乎文法，含义是否正确。

        基于统计的语言处理过程： 按照这种词的顺序，组成句子的可能性有多大：

        P（w1,w2,w3,....wn) = P(w1)*P(w2|w1)(P(w3|w1,w2)*...*P(wn|w1...wn-2,wn-1)。w是word的意思。

        这是理论上的条件概率模型，实际使用时，往往只能做到P(wi|wi-1,wi-2)或P(wi|wi-1),前者叫2元文法模型（Bigram Model)，后者叫3元文法模型。

        如果认为wi的概率与其他w没有关系，那就是一元模型。

    3. 条件概率工程化。以二元模型为例，P（wi|wi-1）= P（wi, wi-1)/ P(wi-1). 这是贝叶斯定理。

        根据大数定律，P（wi,wi-1)在样本足够大（这里就是语料足够多）时，可以用#（wi,wi-1)/#(语料库)近似逼近。

        一般来说，N-gram模型中，N越大，信息量越大，效果越好，同时计算量也越大，呈N的指数增长。

        更多工程细节，如零概率的概率平滑问题，见原书。

第四章：中文分词

    1. 方法演变历史：查字典+最长匹配（哈工大王晓龙博士）。能解决7、8成的问题。无法解决的是“上海大学城书店”这类。

                                统计方法。假设一个句子S有三种分法：A1...Ak、B1...Bm、C1....Cn。那么最佳的分法就是

                                                 max（P（A1...Ak），P（B1,..Bm）,P(C1...Cn)所对应的分法。具体寻找最大的联合概率是一个动态规划问题，可以用

                                                 维特比(Viterbi)算法解决。

                                方法的改进：孙茂松（清华大学）和吴德凯（香港科技大学）。孙茂松解决无词典的分词，吴德凯用中文分词的方法划分英文词组。

    2. 工程细节：分词一致性。根据各人以及应用的需求，分词是不一致的，比如“清华大学”到底分为“清华”和“大学”还是不分词，要看具体应用。

                         分词粒度。一致性达不到是因为分词的粒度需求不一样。粒度要根据应用决定。如果是搜索引擎，把“清华大学”不分词的话，人们搜索

                        单个“清华”的时候，可能就找不到包含清华大学的网页搜索结果。

第五章：隐含马尔科夫模型HMM

    1. 以翻译为例，输入信息串（源语言）S1,S2,...,Sn ，输出信息串（目标语言）O1,O2,...,On。他可以解决的问题是找到接收串对应的最可能的输入串。

        s1,s2,...,sn = ArgMax(P(s1,s2,...,sn|o1,o2,...,on))=ArgMax(P(o1,o2,...,on|s1,s2,...,sn)*P(s1,s2,...,sn)/P(o1,o2,...,on))。这大规模的联合概率可以用

        隐含马尔科夫模型来估计。HMM认为s1->o1，s2->o2,...,sn->on，且这些是独立的。

        故 P（s1,s2,...,sn,o1,o2,..,on)=P(o1,o2,...,on|s1,s2,...,sn)*P(s1,s2,...,sn)=连乘t(P（st|st-1)*P(ot|st))。这个公式就是HMM，

        其中，P（st|st-1)叫转移概率，P（ot|st)叫生成概率，表示由源st产生ot。 这些概率就是HMM的参数。

    2. 隐含马尔科夫模型的训练使用到无监督训练的鲍姆韦尔奇算法。因为HMM的参数估计需要大量的从s到o的标注数据，工作量太大，只能用算法来

        解决了。算法的思想上，先假设这些概率均等，于是得到一个初始模型M0，用这个初始模型标注样本，然后再根据HMM公式计算出新的模型

        参数，得到M1，可以证明的是P（O|M1)>P(O|M0)，于是反复迭代，知道Mi+1和Mi相差无几。

第六章：信息的度量和作用

    1. 信息熵。如果一个信息有32中可能性，你至少需要多少次才能猜中？答案是通过二分法，至少log32=5次就可以猜中。5就是信息熵。

        公式：H（x)=求和【-(P(x)*logP（x）】.

        实际上信息熵表示的是不确定性的度量。

    2. 信息的作用：消除不确定性。假如你不知道地方将要做出什么动作，那么给你一个相关信息，你就能降低对方动作的不确定性判断。

    3. 那什么是相关信息：就是能降低不确定性的信息。那怎么衡量他降低了多少不确定性？答案是看目标信息与提供信息的条件熵：

        H（X|Y)=-求和【P(X,Y)*P(X|Y)】X是目标信息，Y是提供的信息。

        可以证明的是H(X|Y)<=H(X)。更进一步，H(X|Y,Z)=-求和【P(X,Y,Z)*P(X|Y,Z)】<=H(X|Y) <= H(X).

        就是说条件越多，条件熵越小，目标信息X的不确定性越少。等号成立的条件是，提供的信息与X无关。

        源熵H(X)-条件熵H(X|Y)=I(X;Y)，就是减少的不确定性的量化值，它的名字叫 互信息

     4. 还有一个概念叫 相对熵 ，衡量的是两个分布函数的相似性，TF-IDF的理论依据就是它。

第七章：贾里尼克和现代语言处理

    1. 贾里尼克，原捷克人，父亲在二战的纳粹集中营里遇难，后跟随母亲移民美国，十几岁时还在打工。上大学前的读书很少。

    2. 书可以早点读，也可以晚点读，读不懂就不读，当你到了大学，就可能读懂了，因为人长大了，理解能力会上升，理解的快，学习的也快，

        比小时候读书的效率高，小时候就是要成长，确立志向。（但中国的情况是，小时候读不懂书，就上不了大学，呵呵）

    3. 贾里尼克的开创性贡献是首创统计方法建立语音识别框架，以及BCJR算法。

    4. 他一直开着一辆丰田车，生活节俭，虽然比较有钱。一直工作到生命的最后一刻。

第八章：布尔代数和搜索引擎的索引

    1. 道与术：事情的原理是道，具体的做事方法叫术。追求的术的人，一生工作辛苦，只有掌握道，才能游刃有余。追求术的人，往往是希望走捷径，

        希望有一个模型能把事情毕其功于一役，但这是不现实的。

    2. 布尔代数：就是真、假的组合四则运算（与、或、非）

    3. 索引是怎么建立的。基本原理：有多少文章就建多长的一个位串，一个词在哪些文章中出现过，就把那些文章对应的位标为1。具体应用时，

        还有根据文章的重要性等指标，建立不同级别的索引，因为索引太大了。如果有100亿个网页，没条索引的长度就是100亿位。

第九章：图论和网络爬虫

    1. 引例：哥尼斯堡七桥问题。是一个图遍历问题。引理是，如果要能够一遍遍历所有的边，不重复，那么每个节点的度必然是偶数（对于每个点，

                   出去多少边，就有多少进入的边）。

    2. 图的广度优先遍历和深度优先遍历。对应爬虫就是广度优先爬取和深度优先爬取。深度优先的好处是节省”握手“时间。广度优先的好处是可以先

        爬取重要的首页，然后再爬取次重要的。

    3. 有的网页需要运行一段脚本才能生成，那么爬虫就要模拟浏览器，运行一下网页在爬取分析。

    4. 一个URL应该让指定的机器去爬取，只样就只有一台机器发起判断该URL是否已经爬取过。否则每个机器遇到该URL都去服务器上判断一下是否

        已经抓取过，浪费时间。

第十章：PageRank，GOOGLE的民主表决式网页排名技术

    1. 一个网页的重要性取决于指向它的其他网页的重要性之和。就这么简单。

    2. PageRank的工程计算方法：先假设每个网页的重要性均等，根据这个假设，算出第一次迭代排名。然后根据第一次排名结果再算第二次排名，

        以此迭代，直至收敛。理论证明是可以收敛到真实排名的。

第十一章：如何确定网页和查询的相关性

    1. 关键词先关性权重的科学度量：TF-IDF

        TF=（该词在该文档中出现的次数/该文档的总词数）

        IDF=log(总文档数/出现该词的文档数），为什么要取log？因为IDF是特定条件下关键词概率分布的相对熵(交叉熵)

第十二章：地图和本地搜索的基本技术-有限状态机和动态规划

    1. 当google的第一款具有导航功能的android手机发布时，传统导航公司麦哲伦导航的估计狂跌4成。

    2. 地址分析：就是有限状态机的状态转移。先分析省，再到第二个阶段市或者县，再到第三个阶段街道，最后是号。必需是这种顺序的才是合法的

        地址。AT&T有有限状态机的公开源码。

    3. 导航与动态规划。如果一条路径是最短的，那么其子路径也必然是最短的，都在这条路径就不会是最短的。

        要计算北京到广州的最短路径，那么先把北京到广州的中途路径，横切几刀，然后再在分开的小段里面寻找到达该阶段每个城市的最短路径，

        当计算到最后一个阶段时，全局最短路径就产生了。

第十三章：Google AK-47的设计者 - 阿密特.辛格博士

    1. 不要一开始就把项目目标想得100%的完美，只要能解决80%的需求就可以开始着手了。过分追求完美，在长时间内无法达成这个完美，最后就

        不了了之了。也就是项目失败了。这就是完美主义的悲哀，不是他不聪明，而是方法不对。

    2. 做模型，每天分析badcase，这是王道。

第十四章：余弦定理与新闻分类

    1. 将文本表示为词的向量后，计算文本向量的余弦值，可以衡量文本的相似度，值越大，相似度月高。而且和文本的长度没有关系。

    2. 余弦向量积的计算技巧：向量的长度可以先保存下来；向量内积可以只考虑非零元素；删除虚词；给处于段落开头部分的词更高的权重，

        可以提高分类的准确性。

第十五章：矩阵运算与文本处理的两个分类问题

    1. 两个问题是：文本按主题分类（比如把介绍奥运会的新闻归为体育类）、词按意思归类（比如把运动项目的词，归为体育类）。这两者都可以

        通过矩阵运算来完美解决。

    2. 新闻分类的本质是聚类。一次性把10万个新闻两两相似度计算出来的方法是矩阵的奇异值分解（SVD）。SVD的缺点是存储需求大。

    3. Amn=Bmm * Cmn * Dnn. 这是未经降维的原始公式。Amn是文档与词的关系，B是词到此类别，C是此类别到文档类别，D是文档类别到文档。

第十六章：信息指纹及其应用

    1. 信息指纹就是把信息随机地映射到一个多维二进制空间的一个点（就是一个数字）。Hash是其中的一种。目的是为了搜索、去重、和加密。

    2. 理论上，一个信息指纹需要的最少位数是他的信息熵

    3. 判断集合相同：最佳办法是，计算两集合的指纹，然后判断指纹是否相同。

    4. 信息指纹有可能是重复的，即，两个不同的信息，对应了相同的指纹。但概率极低。

    5. 相似哈希。用于google网页判重。

第十七章：由电视剧《暗算》所想到的 - 谈谈密码学的数学原理

    1. 加密后的密文的概率分布不能和明文的概率分布相同，否则，通过收集大量密文，就有可能通过统计来破解。

    2. 目前最好的加密算法是不可逆算法。

    3. 所有的密码都可以通过穷举来破解，只是穷举的时间超过一定阈值就认为是不可破解。

第十八章：闪光的不一定是金子-谈谈搜索引擎反作弊问题

    1. 排在搜索引擎非广告位第一位的结果不一定是最好的，TA有可能是作弊了。

    2. 解决作弊的道是信息论的噪音处理。作弊的就是噪音

        1)从信息源出发，加强抗噪

        2)从传输中过滤噪音

       关键是找到噪音的频率特征。这里就是找到作弊网站的特殊性。比如它一般含有大量的外链。作弊网站直接由于链接相似，往往能形成clique

第十九章：谈谈数学模型的重要性

    1. 真正的数学模型应该是可以证明的，而不是为了解决某个问题凑出来的。例子就是托勒密为了计算拟合行星的轨迹，采用大圆套小圆的方法，

        比较晦涩，复杂。其实，这里真正的模型是牛顿根据万有引bu力推导出来的椭圆模型。

    2. 一个真正的数学模型应该是简单的。

    3. 正确的模型刚开始可能没有经过精雕细琢的一个错误模型准确

    4. 准确的数据对发现模型很重要

    5. 正确的模型可能受噪音干扰。正确的做法不是想办法拟合噪音，而是找出噪音的根源，这也许是个重大发现

第二十章：不要把鸡蛋放到一个篮子里- 谈谈最大熵模型

    1. 原理：预测应当完全满足已知的条件，对未知的情况不做任何主观假设，在这种情况下，概率分布均匀，预测风险最小。因为这时候概率分布的

        信息熵最大。

    2. 已经证明，任何一组不自相矛盾的信息，最大熵模型是存在并且是唯一的

    3. 最大熵模型的训练：GIS(通用迭代法）、IIS(实际上，现在用的是L-BFGS,SGD，书中的算法比较老，效果没有现在的好）

第二十一章：拼音输入法的数学原理

    1. 输入法实际上是一种将语言转变为字母序列的编码方法。好坏的衡量指标是平均击键次数*寻找这个键的平均时长

    2. 复杂的编码规则不具有实用性。人一边在思考，一边还得想编码，效率是极低的。

    3. 香农第一定律：对于一个信息，任何编码长度都不小于ta的信息熵

    4. 拼音输入法的拼音转汉字的算法就是动态规划：根据拼音序列，找最可能的汉字序列。具体计算需要用到HMM模型，即拼音序列的转移概率

        以及拼音与汉字的生成概率。与寻找地图上的最短路径相似，这里的路径长度就是转移概率与生成概率的积。

    5. 输入法模型是可以个性化的，因为不同的用户，ta经常使用的词的范围或类型是特定的。所以可以根据ta的输入语料来训练ta的辅助模型。

第二十二章：自然语言处理的教父马库斯和它的弟子们

    1. 从规则到统计的转移，开创性任务是贾里尼克，发扬光大的是马库斯（Mitch Marcus)

    2.真正的学术牛人从不吝啬ta的研究成果，因为当你理解了ta的研究，ta已经到达了另一个高地。（感觉这和商业中的保密完全是相反的）

第二十三章：布隆过滤器

    1. 原理：将源信息均匀随机地映射到一个很大的位串中，把相应位串的位标为1. 查找时，就是看位串中要查找的信息对应的位是不是1.做一个布尔

        与运算就可以。

    2. 但是布隆过滤器的布隆码有可能重复。重复的概率是极低的。如果真有重复，补救办法是对重复的记录建立白名单。

第二十四章：马尔科夫链的扩展-贝叶斯网络

    1. 贝叶斯网络就是多路径形式的马尔科夫链，也是有向的。

    2. 贝叶斯网络的训练分为两个部分：先生成网络的结构，再计算节点之间的权重即概率。选择哪些因素组成网络，使用互信息的方法。概率的计算

        使用最大熵模型

第二十五章：条件随机场和句法分析

    1. 条件随机场是计算联合概率密度的模型。句法分析是识别句子中的名词、名词短语、动词短语等结构。

    2. 条件随机场实际上是无向的贝叶斯网络。他们都是概率图的一种

    3. 用于句法分析就是寻找一个句子在不同句法分割下，取得最大联合概率的那个分法。

第二十六章：维特比和他的维特比算法

    1. 维特比算法就是针对篱笆网络寻找最短路径的动态规划算法。类似于在地图上找最短路径。

    2. CDMA的创始人是一位美丽的女演员，名叫海蒂.拉马尔。

    3. CDMA码分多址的码是密码的意思，接收端根据自己的密码解码信道信息，解码不了的就表示不是发给ta的。

第二十七章：再谈文本自动分类问题-期望最大化算法

    1. k-centroids聚类算法背后的理论基础就是EM

    2. k-centroids的E就是点到类中心的距离d和类之间的距离D。目标函数就是D-d

    3. EM的过程分为两步：计算E，根据E重新计算模型参数，以最大化目标函数。

    4. EM是一类算法，不是具体算法。比如前面的GIS也是EM的一种。

    5. E的最大化能不能达到全局最优？如果目标函数的凸函数，那么就可以，否则达到的是局部最优。熵是凸函数，欧式距离是，余弦距离不是。

第二十八章：逻辑回归和搜索广告

    1. 搜索广告的一个优化目标就是预测用户会点击哪个广告。叫CTR（Click Through Rate）预估

    2. 这个模型的参数很多，达百万。

    3. 逻辑回归模型能很好地融合大量的参数，并把联合概率适应到一个介于0,1之间的逻辑曲线上，而自变量的范围是负无穷到正无穷。当然自变量也是

        需要甄选的。

    4. google和腾讯的点击率预估用的就是逻辑回归。

第二十九章：各个击破算法和google云计算

    1. 各个击破算法就是分治算法。

    2. MapReduce的原理来自于分治算法。把大人物切分成小任务，分别计算，然后再合并。