一类1D/1D动态规划方程的三种优化情况 单调队列优化 斜率优化 决策单调性优化

众所周知，DP优化有单调队列优化、数据结构优化、矩阵快速幂优化、斜率优化、四边形不等式优化、决策单调性优化、凸优化等。本文讲解关于一类DP方程的三种优化情况。

$$f[i]=\min \{f[j]+w(i,j)\}$$

其中 $j\in [l[i],r[i]]$且$l[i]$、$r[i]$单调不减。$\min$可换为$\max$，方法相同。

$w(i,j)$与$j$无关

对于$j,k\in [[l[i],r[i]](j<k)$，若$f[k]$不比$f[j]$更劣（更大），则$j$在$k$以后的更新都不会有任何贡献，因为有$j$的地方就有$k$，且完全可以选$k$而不选$j$。因此用一个单调队列维护当前有用的转移下标即可。

时间复杂度$O(n)$。

$w(i,j)$只含$i$的多项式、$j$项和$ij$项

见

时间复杂度为$O(n)$或$O(n\log n)$。

$w(i,j)$满足四边形不等式

四边形不等式 $w(i+1,j)-w(i,j)\ge w(i+1,j+1)-w(i,j+1)$
这个性质说明，对于更大的$j$，$w()$随着$i$增长的速度越慢。因此对于$k>j$，如果从$k$转移不劣于从$j$转移，那么$j$在$k$转移以后就没用了，因为随着$i$的增加$w(i,j)$只会比$w(i,k)$越来越差。即$f[i]$的决策点是单调右移的，即决策单调性。

一般有两种方法来实现：

栈+二分

考虑每个决策点能更新哪些状态。我们枚举$1$到$n$的决策点来更新后面的状态。由于决策单调性，每次更新后，决策点数列是单调不减的。因此每次更新的位置是一个区间$[k_i,n]$。于是我们用一个栈维护从左到右的连续相同的决策点块，每次更新时从栈顶开始检查，如果新决策比原决策块完全更优就把原决策块弹掉，否则二分原决策块区间找到从哪个点开始新决策更优。最后将新决策块入栈。

每个决策最多入栈、出栈一次，因为用了二分，时间复杂度为$O(n\log n)$。

struct decis {
	int a, l, r; // 决策点位置，决策块管辖区间
}S[maxn];
int top;

//...
{
	top = 0;
	S[top++] = (decis){0, 0, n-1}; // 第一个决策块
	for(int i = 1; i < n; i++) {
		while(top) {
			decis ctop = S[top-1];
			int ftop = f[ctop.a] + calc(), fnew = f[i] + calc(); //calc()为分别用ctop.a和i更新ctop.l的代价
			if(ftop > fnew) top--; else break;
		}
		if(top) {
			int l = S[top-1].l, r = S[top-1].r+1;
			while(l < r) {
				int mid = l + r >> 1;
				int ftop = f[S[top-1].a] + calc(), fnew = f[i] + calc();  //calc()为分别用S[top-1].a和i更新mid的代价
				if(ftop > fnew) r = mid; else l = mid+1;
			}
			// 此时l的值是第一个新块较优的位置
			if(l <= S[top-1].r) {
				decis o = S[top-1]; top--;
				S[top++] = (decis){o.a, o.l, l-1};
			}
			if(l <= n-1) S[top++] = (decis){i, l, n-1};
		}else S[top++] = (decis){i, k-1, n-1};
	}
	for(int i = 0; i < top; i++) for(int j = S[i].l; j <= S[i].r; j++) f[j] = f[S[i].a] + calc();
}

分治

考虑分治处理每个点的决策点。设当前在处理$[l,r]$的决策点，并已知可能的决策点区间为$[L,R]$。设$mid=\frac{l+r}{2}$，则先暴力求出$mid$的决策点$p$（范围肯定是$[L,mid]$），然后分治处理两边，显然$[l,mid]$的决策点在$[L,p]$，而$[mid+1,r]$的决策点在$[p,R]$。复杂度为$O(n\log n)$。

$w(i,j)$满足四边形不等式和区间单调性

Upd on 2018.11.26

区间单调性 对于所有区间$[i,j]$包含$[i^{\prime },j^{\prime }]$，有$w(i,j)>w(i^{\prime },j^{\prime })$。

若$w(i,j)$满足四边形不等式和区间单调性，则决策点满足区间单调性。因此枚举决策点的时候只用从之前的决策点之间枚举。类似四边形不等式优化区间DP，复杂度从$O(n^3)$降为$O(n^2)$。

例题：IOI2000 邮局

练习题

BZOJ3675 POJ1160 BZOJ1492 HDU3480 BZOJ2726 HDU2829 BZOJ1791 HDU3516

2018.11.30 DP凸优化