计算机网络复习笔记第九部分--误差检测与修正（CRC循环冗余校验码，汉明码）

Noisy Text

全是错的那种东西

Natural Language and Artificial Language

• Natural language
  existence of redundancy enables correction of errors 冗余可以用来纠错
  比如说我们读一个句子，少了一个字母的情况下也能读对。
• Artificial language
  designed without redundancy. error correcting capability is missing

Repetition code

repeating each symbol n times
我们假设一个一百个符号里只能容忍一个错误的信道。

可以纠错，大多数投票就可以。只能纠1个错。
显然这个比特错误的概率超出了我们的容忍。

符合我们的要求。注意二项式算法。

information rate

• (n, k) 码。
  k is information bits carry information;
  n is to be sent
  R(Z) = k/n is called information rate

• Typically a code with information rate near 0 is not very efficient, but it often provides good noise protection.
  (e.g.) the repetition code has the information rate 1/n
  (e.g.) the parity code has the information rate (n-1)/n

Parity code

modulo 2 algebra

模2相加。

• 如果发送v，收到w, error pattern e为1, 其他情况e为0，这样可以有w=v+e
• repetition code (An):
  x1=x2; x1=x3; …; x1=xn
  x1+x2=0; x1+x3=0…
• even-parity code
  x1+x2+…+xn=0

Hamming distance

• The Hamming distance of two codewords is the number of corresponding对应的 bits that differ between these two codewords 对应比特不同的个数
• The Hamming distance of a code is the minimum of the Hamming distance between all possible pairs of codewords of that code
  – To detect d-bit errors, a code must have a minimum Hamming distance of at least
  d + 1 检测x比特需要x+1的汉明距离
  – To correct d-bit errors, a code must have a minimum Hamming distance of at least 2d + 1 纠错x比特需要2x+1的汉明距离

Hamming code

假如是一个(7,4)码，最小汉明距离是3(原来的码和现在的码最少差3个) d=3,可以纠错1位，检错2位
– 这个地方不太懂，为什么要7位码要用3位？是由7得出3的还是由4得出3的。有待之后coding部分的学习，发现了后本人会来修正。

编码
汉明码的编码方式也比较特别的。

1. 首先将前面信息位都写出来，我们的最终的码的构成其实就是4+3的形式。每个码的数位我们都依次按照1(1)，2(10)，3(11)，4(100)，5(101)，6(110)，7(111)来标注好。还有写出他们的二级制数。
2. 汉明码的校验位是二次方幂的那个位数。比如1(1)，2(10)，4(100)，8，16等等。
3. 校验位按照二进制表达后，1所代表的那个校验位，校验的是所有倒数第一位是1的位数，也就是v1, v3, v5,v7。然后使用偶校验，也就是v1,v3,v5,v7中1的个数为偶，使用模2来表达的话就是v1+v3+v5+v7=0。v7=v1+v3+v5
4. 第二个校验位就是v2，也就是10，倒数第二个为1的位数，v2, v3, v6, v7，同上
5. 第三个校验位是v4，100。倒数第三个为1的位数。同上计算。
   
   

解码
d=3, 纠错1位检错2位

• 注意这个例题里的s1,s2和s3的顺序和自己按照上面的方法想的顺序是相反的。这也就验证了另一个博客里所说的为什么是从大到小排列。只需要在写题的时候尽量注意即可。
• 知道了一位是错误的时候，因为是二进制，所以可以直接改过来
• 两个错误的时候的纠错也是错误的。所以忽略。

Polynomial code

burst error

Bit errors:

• random single-bit errors =⇒ parity code.
• burst of multiple-bit errors =⇒ polynomial code.

CRC (Cyclic redundancy check 循环冗余校验)

• 发送端基本思想就是发送端和接收端共同使用一个generator，然后发送的消息假如有4位，校验码4位。比如1001是发送的信息位。补齐后面三位变成10010000，然后除以那个generator生成的多项式所代表的二进制代码。比如1011。然后把10010000除以1011之后的余数111（这一步需要用到多项式的模除法）附属在原信息位1001的后面。这个时候码就变成了1001111。也就是传送的码
• 在接收端的时候，只需要用这个传送的码，减去余数，然后除以那个generator的多项式，如果传输没有错误的话就应该是0。
• 在写的时候，M(x)是原信息位补齐的码也就是10010000
• G(x)是generator生成的那个码
• R(x)是remainder余数
• T(x)是添加了R(x)之后的传输的码。T(x)也可以通过模2运算进行，T(x) ≡ M(x) − R(x).
• 具体的计算过程可以看下面
  
• 接受端收到的可以假定为T’，用T’除以G(x)，如果余数为0，那么T’=T，没有错误

还有最后一部分没太懂的，有待后续学习：

不管有没有看懂，我认为最后一个G(x)的选择上，x不是因数而 x+1是因数这个必须要记住。