不等式$\sum x_i^3(1-x_i)\leq\frac{1}{8}$

问题：若 n 个非负数之和为1，即 ∑xi=1 ，求证： ∑x3i(1−xi)≤18

引理1：若 ∑xi=1 ，当 n≥3 时，必有两数之和小于 34 (｡･∀･)ﾉ
证明呗：显然 xi+xj 这样的数对有 C2n 组，然后：

∑xi+xj=(x1+x2)+(x1+x3)+...=(n−1)⋅∑xi=n−1

由于 xi+xj 这样的数对有 C2n 组，其平均值为 n−1C2n=2n ，于是必有两数之和小于 2n≤23<34.
没毛病？

引理2：若两个正数 x,y ，满足 x+y<34 ，那么有

(x+y)3−(x+y)4>[x3−x4]+[y3−y4]

证明：展开之呗

⇔4x3y+6x2y2+4xy3−3x2y−3xy2<0⇔3(x+y)−(4x2+6xy+4y2)>0⇐3(x+y)−(4x2+8xy+4y2)>0⇔3(x+y)−4(x+y)2>0⇔(x+y)<34

ok证毕

引理3： n=2 时原问题成立
证明：一波导数过去肯定可以的，没毛病

回到原问题：
设 f(x1,x2,...,xn)=∑x3i(1−xi) ，不妨设 x1≥x2≥...,≥xn ，显然由引理1， xn+xn−1<0.75 ，于是立马用引理2有

f(x1,x2,...,xn)≤f(x1,x2,...,(xn−1+xn),0)

令 x1,x2,...,(xn−1+xn) 从大到小重排得到 x(1)1,x(1)2,...,x(1)n−1,0 ，显然其和依旧保持为1不变，那上式改写为：

f(x1,x2,...,xn)≤f(x(1)1,x(1)2,...,x(1)n−1,0)

由于和保持1不变，所以由引理1，知道只要 n≥3 那么上述算法便可以继续重复操作下去，直到 n=2 ，即有

f(x1,x2,...,xn)≤f(x(1)1,x(1)2,...,x(1)n−1,0)≤...≤f(x(n−2)1,x(n−2)2,0,...,0)

由引理3有 f(x1,x2,...,xn)≤f(x(n−2)1,x(n−2)2,0,...,0)≤18
等号在 (0.5,0.5,0...,0) 处取得