《统计学习方法》-李航、《机器学习-西瓜书》-周志华总结+Python代码连载（三）--贝叶斯分类器（Bayes）

一、贝叶斯概论

假设有N种可能的类别标记，即,是将一个真实的的样本误分类成所产生的损失。在后验概率的基础上可得到将样本x分类成的期望损失（条件风险）:

需要寻找到一个准则，使得所有样本对每个分类产生的条件风险最小，显然，对每个样本x能最小化条件风险即可，因此就有贝叶斯判定准则（Bayes decision rule）:为最小化总体条件风险，只需要在每个样本上选择能使条件风险最小，即,此时则称为贝叶斯最优分类器。

不妨将损失为0/1损失函数：

此时可得到,进一步可得到.

由上述可知道要使用贝叶斯判定准则，得先求得后验概率，在现实难以实现，可以转成另外的形式(朴素贝叶斯）。

二、朴素贝叶斯分类器(Naive Bayes classifiers)

2.1 朴素贝叶斯算法

有一部分可知我们需要最大化，进一步带入公式(假设每个样本中的每个特征都是独立同分布,这里的-样本中的第i个特征),又因为p(x)对于每个样本都一样，最后可得到.可知朴素贝叶斯分类器目标就是最大化上一个公式。

2.2 参数估计

由2.1可知求解朴素贝叶斯得求解P(c)和。一般使用极大似然估计和贝叶斯估计(特殊情况为拉普拉斯平滑)。

极大似然估计：

                            ,D-在上第i个特征为的个数，I(X=Y)为X=Y的个数。

贝叶斯估计：

                      ,取为拉普拉斯平滑。

代码实现：

# Naive bayes
# 朴素贝叶斯是基于贝叶斯定理与特征条件的独立假设的分类方法，对于给定的训练数据集，首先基于特征条件独立假设学习输入\输出的联合概率分布，然后基于此模型，对给定的输入x，利用贝叶斯定理求后验概率最大的输出y。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split

from collections import Counter
import math

# data
def create_data():
    iris = load_iris()
    df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
    df['label'] = iris.target
    df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
    data = np.array(df.iloc[:100, :])
    # print(data)
    return data[:,:-1], data[:,-1]

X, y = create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3)
X_test[0], y_test[0]


# GaussianNB 高斯朴素贝叶斯
# 特征的可能性被假设为高斯

class NaiveBayes:
    def __init__(self):
        self.model = None

    # 数学期望
    @staticmethod
    def mean(X):
        return sum(X) / float(len(X))

    # 标准差（方差）
    def stdev(self, X):
        avg = self.mean(X)
        return math.sqrt(sum([pow(x - avg, 2) for x in X]) / float(len(X)))

    # 概率密度函数
    def gaussian_probability(self, x, mean, stdev):
        exponent = math.exp(-(math.pow(x - mean, 2) /
                              (2 * math.pow(stdev, 2))))
        return (1 / (math.sqrt(2 * math.pi) * stdev)) * exponent

    # 处理X_train
    def summarize(self, train_data):
        summaries = [(self.mean(i), self.stdev(i)) for i in zip(*train_data)]
        return summaries

    # 分类别求出数学期望和标准差
    def fit(self, X, y):
        labels = list(set(y))
        data = {label: [] for label in labels}
        for f, label in zip(X, y):
            data[label].append(f)
        self.model = {
            label: self.summarize(value)
            for label, value in data.items()
        }
        return 'gaussianNB train done!'

    # 计算概率
    def calculate_probabilities(self, input_data):
        # summaries:{0.0: [(5.0, 0.37),(3.42, 0.40)], 1.0: [(5.8, 0.449),(2.7, 0.27)]}
        # input_data:[1.1, 2.2]
        probabilities = {}
        for label, value in self.model.items():
            probabilities[label] = 1
            for i in range(len(value)):
                mean, stdev = value[i]
                probabilities[label] *= self.gaussian_probability(
                    input_data[i], mean, stdev)
        return probabilities

    # 类别
    def predict(self, X_test):
        # {0.0: 2.9680340789325763e-27, 1.0: 3.5749783019849535e-26}
        label = sorted(
            self.calculate_probabilities(X_test).items(),
            key=lambda x: x[-1])[-1][0]
        return label

    def score(self, X_test, y_test):
        right = 0
        for X, y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            if label == y:
                right += 1

        return right / float(len(X_test))

model = NaiveBayes()
model.fit(X_train, y_train)

print(model.predict([4.4,  3.2,  1.3,  0.2]))

model.score(X_test, y_test)


#使用sklearn
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB

clf = GaussianNB()
clf.fit(X_train, y_train)
clf.score(X_test, y_test)

print(clf.predict([[4.4,  3.2,  1.3,  0.2]]))

连载GitHub同步更新：https://github.com/wenhan123/ML-Python-