方差分析与正交试验设计(四)

单因素方差分析

方差来源	平方和	自由度	均方和	F值
因素A(组间)	$Q_A={\sum }_{i=1}^r{n}_i{(\overline{x_i}-\bar{x})}^2$	r-1	$\overline{Q_A}=\frac{Q_A}{r-1}$	$F=\frac{\overline{Q_A}}{\overline{Q_E}}$
误差E(组内)	$Q_E={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^{n_i}{(x_{ij}-\overline{x_i})}^2$	n-r	$\overline{Q_E}=\frac{Q_E}{n-r}$
总和	$Q_T={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^{n_i}{(x_{ij}-\bar{x})}^2$	n-1

r为类型数
F与$F_{\alpha }(r-1,n-r)$比较

双因素等重复试验的方差分析

方差来源	平方和	自由度	均方和	F值
因素A	$Q_A=sl{\sum }_{i=1}^r{(\overline{X_{i..}}-\bar{X})}^2$	r-1	$\overline{Q_A}=\frac{Q_A}{r-1}$	$F_A=\frac{\overline{Q_A}}{\overline{Q_E}}$
因素B	$Q_B=rl{\sum }_{j=1}^s{(\overline{X_{.j.}}-\bar{X})}^2$	s-1	$\overline{Q_B}=\frac{Q_B}{s-1}$	$F_B=\frac{\overline{Q_B}}{\overline{Q_E}}$
交互作用	$Q_I=l{\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^s{(\overline{X_{ij.}}-\overline{X_{i..}}-\overline{X_{.j.}}-\bar{X})}^2$	(r-1)(s-1)	$\overline{Q_I}=\frac{Q_I}{(r-1)(s-1)}$	$F_I=\frac{\overline{Q_I}}{\overline{Q_E}}$
误差	$Q_E={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^s{\sum }_{k=1}^l{(X_{ijk}-\overline{X_{ij.}})}^2$	rs(l-1)
总和	$Q_T={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^s{\sum }_{k=1}^l{(X_{ijk}-\bar{X})}^2$	rsl-1

s是横向因素个数,r是纵向因素个数,l是重复试验次数

双因素无重复试验的方差分析

方差来源	平方和	自由度	均方和	F值
因素A	$Q_A=s{\sum }_{i=1}^r{(\overline{X_{i.}}-\bar{X})}^2$	r-1	$\overline{Q_A}=\frac{Q_A}{r-1}$	$F_A=\frac{\overline{Q_A}}{\overline{Q_E}}$
因素B	$Q_B=r{\sum }_{j=1}^s{(\overline{X_{.j}}-\bar{X})}^2$	s-1	$\overline{Q_B}=\frac{Q_B}{s-1}$	$F_B=\frac{\overline{Q_B}}{\overline{Q_E}}$
误差	$Q_E={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^s{(X_{ij}-\overline{X_{i.}}-\overline{X_{.j}}+\bar{X})}^2$	(r-1)(s-1)	$\overline{Q_E}=\frac{Q_E}{(r-1)(s-1)}$
总和	$Q_T={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^s{(X_{ij}-\bar{X})}^2$	rs-1

正交试验设计

正交表

$L_n(s_1\times s_2\times \cdots \times s_r)$
其中n是正交表的行数,代表正交试验的次数,r是可以安排的列数,s是每列中因素的水平数
例:$L_8(2^7)$代表有7列,每列的元素水平数是2,一共进行8次试验.

试验结果直观分析

极差$T_{ij}$i代表因素的某个水平,j代表因素列,即第j列上i元素的指标(y)的和
$R_j$是j列不同元素的极差
可以用$R_j$排出主次顺序,$R_j$越大代表越重要,影响越大.
最优实验条件,是根据主次顺序,排列出各列根据不同要求得到的实验条件.

实验结果方差分析

方差来源	平方和	自由度	均方和	F值
A	$Q_A$	$f_A$	$Q_A/f_A$	$F_A=\frac{Q_A/f_A}{Q_e/f_e}$
B	$Q_B$	$f_B$
C	$Q_C$	$f_C$
A×B	$Q_{A\times B}$	$f_{A\times B}$
误差e	$Q_e$	$f_e$
总和T	$Q_T$	n-1

其中$Q_T$=$Q_A$+…+$Q_e$
$Q_T={\sum }_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})}^2$
$Q_j=\frac{S_j}{n}{\sum }_{i=1}^{S_j}{T}_{ij}^2-\frac{1}{n}{({\sum }_{i=1}^{S_j}{T}_{ij})}^2$
$Q_e$=$Q_T$-其他
和$F_{\alpha }(f_I,f_e)比较$