(数二)矩阵等价、相似、合同的定义及性质

矩阵等价

定义

如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,就成矩阵A与B行等价。

如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,就成矩阵A与B列等价。

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价。

性质

  1. 反身性:A~A
  2. 对称性:若A~B,则B~A
  3. 传递性:若A~B,B~C,则A~C

推论:

  • 有两个m×n阶矩阵A和B,如果这两个矩阵满足B=QAP(P是n×n阶可逆矩阵,Q是m×m阶可逆矩阵),那么这两个矩阵之间是等价关系。
  • r(A)=r(B),且A与B为同型矩阵。

矩阵相似

定义

设A、B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P^(-1)AP=B,则称B是A的相似矩阵,对A进行运算P^(-1)AP称对A进行的相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。

性质

1.若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值相同

2.n阶矩阵A与对角矩阵相似(A可以对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

推论

  • 若n阶矩阵A与对角矩阵相似,则λ1,λ2,λ3....λn即是A的n个特征值。
  • 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等,则A与对角矩阵相似。
  • A与某对角矩阵相似,B也与该对角矩阵相似,则A与B相似。
  • |A|=|B|,r(A)=r(B),A与B迹相等。

矩阵合同

一般在线代问题中,研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知,合同矩阵等秩

定义

b两个n阶矩阵A和B,如果存在可逆矩阵C使得C^(T)AC=B,则称A与B合同,并称由A到B的变换为合同变换,称C为合同变换的矩阵。

  • 一个二次型是半正定二次型,当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。对于半正定二次型其对应的对称矩阵在实数域内可以合同到一个对角线元素只由0和1构成的对角矩阵。
  • 正定二次型对应矩阵一定是可逆矩阵,且行列式大于0。对于正定二次型,其对应的对称矩阵在实数域内合同于单位阵。一个n元二次型是正定二次型,当且仅当它的正惯性指数是n,同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。

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