（数二）矩阵等价、相似、合同的定义及性质

矩阵等价

定义

如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，就成矩阵A与B行等价。

如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，就成矩阵A与B列等价。

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价。

性质

1. 反身性：A~A
2. 对称性：若A~B，则B~A
3. 传递性：若A~B,B~C,则A~C

推论：

• 有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。
• r(A)=r(B），且A与B为同型矩阵。

矩阵相似

定义

设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B,则称B是A的相似矩阵，对A进行运算P^(-1)AP称对A进行的相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。

性质

1.若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同。

2.n阶矩阵A与对角矩阵相似（A可以对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

推论

• 若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则λ1,λ2,λ3....λn即是A的n个特征值。
• 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角矩阵相似。
• A与某对角矩阵相似，B也与该对角矩阵相似，则A与B相似。
• |A|=|B|，r(A)=r(B),A与B迹相等。

矩阵合同

一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

定义

b两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C使得C^(T）AC=B，则称A与B合同，并称由A到B的变换为合同变换，称C为合同变换的矩阵。

• 一个二次型是半正定二次型，当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。对于半正定二次型，其对应的对称矩阵在实数域内可以合同到一个对角线元素只由0和1构成的对角矩阵。
• 正定二次型对应矩阵一定是可逆矩阵，且行列式大于0。对于正定二次型，其对应的对称矩阵在实数域内合同于单位阵。一个n元二次型是正定二次型，当且仅当它的正惯性指数是n，同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。