Hall定理的充分性证明

最近复习离散数学，其中二分图的匹配中，Hall定理的充分性证明好不容易才看懂，因此记录一下，以备不时之需：

先贴上课本中定理及证明过程：

通俗点讲，假设V1中顶点数为n，“二分图G存在完备匹配”      与    “取任意正整数1<=k<=n，均满足从V1集合选出k个不同的点，那么它们连向的V2集合的点个数不小于k”    这两个互为充要条件。

证明：

最开始，对 “从而这些端点全在V1中”  很不理解，后来明白：

 上述证明中，从V1中的点Vx开始找尽可能长的交错路径，假设最后的端点属于V2，设为c吧，那么c是饱和点，且由于是从Vx开始的交错路径，c关联的那条从顶点集V1中走过来的边一定不属于M，所以V1中一定有其他的点与c匹配，设为d。因为要找尽可能长的交错路径，所以c一定不是最后的端点（又可以通过边（c，d）回到V1），所以最后的端点一定在V1中。

 

类似这样（×表示此边不属于M，√表示属于M）