回溯法解八皇后问题

问题介绍

摘自百度百科
八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法？

回溯法

概念

摘自百度百科
回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

思想

在回溯法中，每次扩大当前部分解时，都面临一个可选的状态集合，新的部分解就通过在该集合中选择构造而成。这样的状态集合，其结构是一棵多叉树，每个树结点代表一个可能的部分解，它的儿子是在它的基础上生成的其他部分解。树根为初始状态，这样的状态集合称为状态空间树。
回溯法对任一解的生成，一般都采用逐步扩大解的方式。每前进一步，都试图在当前部分解的基础上扩大该部分解。它在问题的状态空间树中，从开始结点（根结点）出发，以深度优先搜索整个状态空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的活结点处，并使这个活结点成为当前扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在状态空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

四皇后问题回溯模型

解题框架

对于回溯法的求解模型一般有两种，递归解法及非递归解法。

非递归法

List result, i;
init(result, n);//初始化解结果
i = 1;
while (i>0)
{
  if(i > n) {   
      //搜索到一个解，输出；
      //回溯
      i--;
  }
  else { 
        set(result, i, j);//赋初值或尝试下一个值
        for (j = 下界; j <= 上界; j++) {
             if (constaint(result, j)) {
                break;
             }
        }
        if(满足条件)
        {
             i = i + 1;
        }
        else {
            清理所占的状态空间；            
            // 回溯
            i = i – 1; 
        }
}

递归法

void backTrace(int i) {
    if(i == 1) {
        init(result, n);
    }
    if(i > n) {
        //找到一个解，输出
    } else {
        for (int j = 下界; j <= 上界; j++) {
            set(result, i, j);
            if(constraint(r, i)) {
                if(i <= n) {
                    backTrace(i + 1);
                }
            }
        }
    }
}

八皇后问题求解

class Queen {
    int n;
    List> result = new ArrayList<>();

    public Queen(int n) {
        this.n = n;
    }

    boolean conflict(List state, int x) {
        for (int i = 1; i < x; i++) {
            if (state.get(i).equals(state.get(x)) || x - i == Math.abs(state.get(x) - state.get(i))) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }

    void init(List list, int size) {
        for (int i = 0; i <= size; i++) {
            list.add(0);
        }
    }

    void reInit(List list, int size) {
        for (int i = 2; i <= size; i++) {
            list.set(i, 0);
        }
    }

    void queen() {
        int i = 1;
        List r = new ArrayList<>(n + 1);
        init(r, n);
        while (i > 0) {
            if (i > n) {
                //找到一组解
                ArrayList list = new ArrayList<>(r.size() - 1);
                for (int index = 1; index < r.size(); index++) {
                    list.add(r.get(index));
                }
                result.add(list);
                //找到一组解后同样回溯
                i = i - 1;
            } else {
                //找到第i行对应的合适的列
                int j = r.get(i);
                r.set(i, j + 1);
                for (j = r.get(i); j <= n; j++) {
                    r.set(i, j);
                    if (!conflict(r, i)) {
                        break;
                    }
                }
                if (j <= n) {
                    //找到了合适位置，继续下一个
                    i++;
                } else {
                    //回溯
                    r.set(i, 0);
                    i--;
                }
            }
        }
    }

    List r = new ArrayList<>(n);
    void queenRecurse(int i) {
        if(i == 1) {
            init(r, n);
        }
        if(i > n) {
            ArrayList list = new ArrayList<>(r.size() - 1);
            for (int index = 1; index < r.size(); index++) {
                list.add(r.get(index));
            }
            result.add(list);
        } else {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                r.set(i, j);
                if(!conflict(r, i)) {
                    if(i <= n) {
                        queenRecurse(i + 1);
                    }
                }
            }
        }
    }

    void print() {
        System.out.println(n + " queen problem has " + result.size() + " results!");
        for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
            List list = result.get(i);
            for (Integer in : list) {
                System.out.print(in + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}