偏微分方程笔记

机理分析中的：微分方程模型，常微分方程的数值解，差分方程模型，稳定状态模型，

马氏链，偏微分方程的数值解，

 

微分方程模型

1． 基本步骤：

1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。

2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。

3. 运用这些规律列出方程和定解条件。

2.列方程常见方法:

 直接列式，微元分析法与任意区域上取积分的方法，模拟近似法。

3.实例分析：多级火箭发射，人口问题，

预测胜负的战争模型

类型：两正规，一正规一游击，两游击，（正规看见射人，游击射面积）

影响因素：单人战斗力和士兵数量

常微分方程的数值解

 

 

稳定状态模型

1. 理论简介，详见算法大全

2. 实例  再生资源的管理和开发

资源增长——资源开发——经济效益——种群相互竞争（相空间求解）

3. 实例  食饵-捕食模型，详见算法大全

 

 

差分方程模型

1.  简介

常系数线性差分方程的Z 变换解法(Z变换的性质，常用离散函数的Z变换)

2.蛛网模型（经济中价格和商品数量）

3.商品销售量预测模型

在利用差分方程建模研究实际问题时，常常需要根据统计数据并用最小二乘法来拟

合出差分方程的系数。其系统稳定性讨论要用到代数方程的求根。对问题的进一步研究

又常需考虑到随机因素的影响，从而用到相应的概率统计知识。

4.遗传模型

  常染色体模型，常染色体隐性病模型，X −链遗传模型

 

 

马氏链模型

1.马氏链：某一系统在已知现在情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无直接关系。

2.基本步骤：

当实际问题可以用马尔可夫链来描述时，首先要确定它的状态空间及参数集合，然后确定它的一步转移概率。关于这一概率的确定，可以由问题的内在规律得到，也可以由过去经验给出，还可以根据观测数据来估计。

3.转移概率的渐进性质和极限概率分布。

4.吸收链

  如果马氏链至少含有一个吸收状态，并且从每一个非吸收状态出发，都可以到达某

个吸收状态，那么这个马氏链被称为吸收链。

5.应用：

  应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是根据某些变量现在的情

况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依

据。

  股票价格预测，生态系统演替规律