微分流形与黎曼几何学习笔记（转）

由于种种原因要恶补一下微分流形和黎曼几何，吸取一下“前辈”们的经验，也希望大家能提供一些更好的经验！



1 自几何佳缘

在这方面我是很有感受的。我整理了一些心得笔记，打算以后给学生上课的时候，把这些内功心法传授给他们。

这里先随便讲两句。 如果楼主想聊聊的话，可以写信到我的百度邮箱。

以前研究生时候，我学过微分几何，用的是陈维桓那本。 但是学了之后还是不得要领。因为我们的老师只是照着书念，根本没有讲出精髓来。直到后来，我重学的时候，才恍然大悟，接下来可以说是一通百通。

到底是怎么回事呢？且待我慢慢道来。

(I) 首先我这次选的书非常好--可以说是机缘巧合。 我用的书是侯伯宇《物理学家用的微分几何》。
这本书有几个特点：它讲述概念非常直观简洁，而且会告诉你这些概念的物理北景； 对重要的定理结论，它不给证明，但是会详细解释它的几何意义和物理意义。初学者看此书是非常省力的。

忠告：如果你初学微分几何，千万不要看陈省身和陈维桓的《微分几何讲义》，这本书已经是高度提炼了。你没有好的几何背景根本不能消化--比如联络那一章就是。


(II)其次， 侯的《物》里说了一段话，使我顿悟微几的关键所在。 他告诉我们，微分几何的概念结论等等都是在一个原则下展开的： 所讨论的东西都要与坐标选取无关。书中引用爱因斯坦一段话，说爱氏花了7年之功才建立广义相对论，其原因就在于他一直努力摆脱坐标系的困扰。

忠告： 不管你学到哪个概念，你一定要牢牢记住这个原则。 举例来说，为什么定义切空间和与切空间要这么大费周章从等价类入手？就是因为它要让定义出来的东西和坐标无关。 明白这个原则，基本上就越过了学微几的第一道坎。后面可说是事半功倍。


(III) 学微几的另一个重要原则就是： 内蕴的思想。 你碰到的所有概念和结论都是内蕴的。就是说他们只和这个流形有关，和流形所在的大空间无关。 这和本科的《曲面微分几何》不同，那里定义的东西常常是在3维空间里看的。

忠告： 牢记这个原则！ 在你学了公理化定义的联络以及黎曼度量以后，再回过头来看，就会明白为什么人家煞费苦心来做这些事。


(IV)理解切空间和与切空间，以及他们的张量，是微分几何入门的关键！
记住上面讲的原则，你再去看一遍体会体会就会领悟的。 这里不再多讲。

我只想说说张量。 如果看陈省身和陈维桓的《微分几何讲义》，那你对张量的理解永远只是表面，你最多只知道他的代数定义。 为什么我们要在微几里讨论张量呢？ 你要是不知道很多背景，就不能体会其用意。

比如黎曼度量， 他就是一个二阶张量。首先你要明白二阶张量不过就是矩阵！ 一般的张量不过是矩阵的推广！你回忆一下，向量可以看作一个1维数组，矩阵可以看作2维表格，那么3维表格不就是3阶张量吗？

所以无非是要造一个在流形上处处有定义的矩阵，并且这个矩阵和坐标无关。怎么才叫和坐标无关呢？ 这就引出了我们说的协变规律反变规律等等。

然后你在回忆一下，我们在曲面微分几何里怎么定义度量，那时候曲面的度量就是3维空间度量限制在它上面，这不是内蕴的方式。
所以人们要绕个弯子，从张量上来重新定义度量，因为张量是内蕴概念，只和这个流形有关。

上面的说明就是要你看到，我说的这两个原则是怎么始终贯穿在学习理解中的。

(V) 学习联络又是一个很难过的坎。 你要是直接看那种公理化的定义，最多只能像大多数人一样，只会背诵“法律条文”。 这个时候，你要先去看那种不是内蕴的定义方式。 然后你才会真正明白联络的几何意义，知道人家为什么这么做。 公理化定义只是为了满足我刚才说的两个原则。

你可以参看《黎曼几何讲义》作者记不大清了，好像有一个姓白（白正国）。 封面是蓝色的，版本较旧。 这本书写的联络一章非常好。



(VI)过了这几关，基本上可以轻松读完陈维桓的那本书。 微分几何真正困难的东西，初学者是学不到的。初学者的困难就在于没有真正把握住我说的那两条原则。

上面说的都是我的经验之谈，我就是这么学过来的。



黎曼几何的切入口( http://physt.org/bbs/viewthread.php?tid=95)

一般从直观的角度来说，要研究线的弯曲起码要在二维空间才能进行。（如果是非平面曲线还得在三维空间里）同样面的弯曲只能在三维空间里才能直观地研究。即便如此，三维空间的弯曲还是直观不起来了。因为四维以上的空间无法用图表示。当然用相应的类比还是可以进行研究的。
要研究N维空间的弯曲是否至少要在N＋1维空间里才能进行呢?
极而言之，现在假设有一个最高是N维的空间，如果比N维的维数少的空间的弯曲情况还可以在N维空间里研究的话，那么N维空间的弯曲，由于没有更高维的空间，如何研究呢？
在N维空间里研究N维空间自身的弯曲看来只能是另辟蹊径了。
如果不借助更高维空间，仅通过空间自身的“努力”来研究弯曲的话，那你相对于黎曼几何的殿堂已经可以说是登堂入室了。
此话怎讲。
众所周知，在欧几里德空间里，一个矢量作平行移动“兜”一个圈回到原处，这个矢量的大小和方向都不会发生变化。这因为欧几里德空间是平直空间。
那么在一个弯曲的空间里对矢量这样作是否会发生某种变化呢？回答是肯定的！不仅如此，还可以根据其大小和方向变化的多少来判断空间弯曲的程度和特性。换句话说，我们只要将某个矢量在N维空间里“兜”个圈，研究矢量的变化就可知晓此N维空间的弯曲的情况啦。看！研究N维空间的弯曲不必借助N+1维空间。
关于矢量大小和方向的变化先分开来讨论比较方便。
关于矢量方向的变化至少和一个叫“仿射联络”的量有关。如该空间是平直的，那么“仿射联络”量必为零。如果该空间的“仿射联络”不为零，则该空间就是弯曲的。不过，大家可要当心！“仿射联络”为零，该空间可不一定是平直的。因为“仿射联络”量不是一个张量。一个“仿射联络”不为零的空间可以通过坐标变换使它在空间的某个“局部”为零。
关于矢量大小的变化则和一个叫度规张量的量有关。一般来说，在弯曲空间里矢量在平移时起码大小是变化的。这个度规张量可以反映空间的种种特性。当这个量与坐标和时间有关时，那么该空间不仅是弯曲的而且是“蠕动”的。
“仿射联络”与度规张量似乎都能反映空间的弯曲，那么它们之间有什么关系呢？研究表明，度规张量可以完全确定“仿射联络”。但是“仿射联络”则不一定完全确定度规张量。为此，我们把度规张量看成是最基本的，并假设“仿射联络”总可以由度规张量计算出来。
在研究矢量平移的变化过程中发现这种变化还和平移的路径有关，由于路径的不同又会引起额外的变化。（事情变得更为复杂了）这个额外的变化与一个叫曲率张量的量有关。曲率张量是唯一可以由度规张量的二阶导数的线性组合而构成的张量。此外如果该空间过分“七翘八扭”则还得考虑“挠率张量”等等。
关于曲率张量按理应该大书特书一番。由于牵涉面过于复杂，只能点到为止。通过对牛顿引力方程的合理推广、广义相对论及对曲率张量的特定组合，爱因斯坦得出了一个有名的“上帝的方程式”——爱因斯坦方程！
黎曼几何竟和广义相对论挂上了钩。
爱因斯坦方程就是引力场方程。于是一切就顺理成章了，爱因斯坦方程决定度规张量（物质决定度规张量）——度规张量决定曲率张量——曲率张量决定空间弯曲——度规张量决定仿射联络——仿射联络决定物质运动——……
顺便提一下仿射联络的“局部”为零的参考系相当于引力场中自由降落的升降机。挠率张量的物理效应并不显著，在这方面已经有人做过点“文章”了，看来意义不大。
无论“维相”还是“反相”要想绕过黎曼几何几乎是不可能的。

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