浅谈数据结构与算法（五）

图

图是一种网状数据结构，是由非空的顶点集合和一个描述顶点之间关系的集合组成，它是多对多的关系。

图的定义

图的形式化定义如下：

• 图是由(V, E)来表示的，对于无向图来说，其中 V = (v0, v1, … , vn)，E = { (vi,vj) (0 <= i, j <= n且i 不等于j)}，对于有向图，E = { < vi,vj > (0 <= i, j <= n且i 不等于j)}。
  V是具有相同特性的数据元素的集合，V中的数据元素通常被称为顶点。
  E是两个顶点之间的关系的集合，也就是边的集合

• 若∈E，表示从顶点vi到顶点vj的一条弧，并称vi为弧尾或起始点，vj称为弧头或终止点。此时图中的顶点之间的连线是有方向的，这样的图称为有向图。

• 若∈E则必有∈E，则关系E是对称的，此时可以使用一个无序对(vi，vj)来代替两个无序对，它表示顶点vi和顶点vj之间的一条边，此时图中顶点之间的连线是没有方向的，这种图称为无向图。

在无向图和有向图中V中的元素称为顶点，而顶点之间的关系称为弧或边，在不影响理解的情况下，我们接下来将它们称为边。

并且顶点和边的数量都是有限的，我们记为|V|和|E|。

无向图其实也是有向图，它是双向图。

加权图：

• 在实际应用中，图不但需要表示元素之间是否存在某种关系
  而且图的边往往与具有实际意义的数字有关，即每条边都有与它相似的实数，称为权。
  这些权值可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或者时间等意义，在下文中的权值均为正数。

比如上图所示，每条边上面的数字既可以代表距离，也可以代表时间。具体代表什么要看当用它的时候代表的实际意义。

图的存储方式

但是在正常的生活中，当我们使用图的时候，图是如何存储的呢。

邻接矩阵：二位数组 -> 顺序存储结构

邻接表： 链表 -> 链式存储结构

链式存储的方式从图中可以看出是使用了数组和链表的方式。

图的遍历

图的遍历就是从某个顶点出发，按照某种方法对图中的所有顶点访问且访问一次。
图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑排序和求关键路径等算法的基础。

• 深度优先算法：类似于树的先序遍历，是树的先序遍历的推广。（可以采用递归和借助栈的非递归方式实现）
• 广度优先算法：类似于树的层次遍历，它是树的层次遍历的推广(借助队列的非递归方式实现)

eg1：

无向图的深度优先遍历：0->1->3->7->4->2->5->6
无向图的广度优先遍历：0->1->2->3->4->5->6->7

eg2：

无向图的深度优先遍历：a b c e f d g h i
无向图的广度优先遍历：a b c d e f g h i
（答案并不是唯一的，前面讲过在实际应用场景，图的存储方式使用链式存储方式较多，所以在遍历的过程中要看你是如何存储数据的，再得出相应的遍历顺序）

图的最短路径

• 最短路径的概念：在许多应用领域中，带权图都被用来描述某个网络，比如通信网络、交通网络等，这种情况下，各边的权重就对应两点之间的通信的成本或者交通费用或者距离，典型的问题就是在任意指定的两点之间如果存在通路，那么最小的消耗是多少。这类问题实际上就是求解两个顶点之间最小的路径是多少。

问题：计算v1->v8的距离是多少？

解1：段数最少的最短路径
如：所经历的边或弧最少的路径(拿坐地铁来说就是换乘最少)
解决方法：广度优先搜索，和权值无关，需要借助队列来实现

对于已经检查的顶点标记为已检查，否则会出现无限循环，可以新创建一个列表用于存储已经检查的顶点，找到目标顶点则结束。第一次找到就是跳转最少的路径。如果最后队列为空，就说明没有路径可以到达目标顶点。

新建两个队列S T

• 我们从顶点v1开始，S -> v1 T -> 空
• v1的相邻顶点是v2,v3,v4，则v1出队，v2，v3，v4入队。S ->v2 v3 v4；T->v1(记作v1已经被访问过了,以此类推)
• 接下来看v2相邻顶点是v3 v5 v6，则v2出队， v3 v5 v6入队。S-> v3 v4 v3 v5 v6; T -> v1 v2
• 接下来看v3相邻顶点是v4 v6，则v3出队， v4 v6入队。 S->v4 v3 v5 v6 v4 v6; T-> v1 v2 v3
• 接下来看v4相邻顶点是v6 v7，则v4出队， v6 v7入队。S->v3 v5 v6 v4 v6 v6 v7;T-> v1 v2 v3 v4
• 接下来是v3，但是在T队列中它已经是被访问的了，所以直接出队。
• 以此类推到最后v8，第一次找到v8则就是最短路径。如果到最后都出队，队列为空则表示没有路径可以到达目标顶点。

解2：权值最小的路径
eg：时间最少，距离最少
解决方法：狄克斯特拉算法

我们创建两个数组
数组S：v1
数组T：v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
创建一个表格(-1表示无穷)

前一个结点	当前结点	权值
v1	v2	-1(3)
v1	v3	-1(5)
v1	v4	-1(6)
	v5	-1
	v6	-1
	v7	-1
	v8	-1

表示的是从v1开始，它可以通向的结点是v2 v3 v4，并且权值分别是3 5 6。比无穷大要小，所以替换掉-1。

下一步把v2取出来
数组S：v1 v2
数组T：v3 v4 v5 v6 v7 v8

前一个结点	当前结点	权值
v1	v2	3
v2	v3	5 (1 + 3)
v1	v4	6
v2	v5	-1(7+3)
v2	v6	-1(4+3)
	v7	-1
	v8	-1

可以看出v2可以通向的结点是v3 v5 v6，权值分别是1 7 4。我们已知从v1 -> v3的权值是5，v1->v2的权值是3，v2->v3的权值是1，可以得出v1->v2->v3的权值是1 + 3 =4，小于从v1->v3的权值5。所以用1+3替换掉5.同理v5 v6的权值是7+3和4+3
得出新表

前一个结点	当前结点	权值
v1	v2	3
v2	v3	4
v1	v4	6
v2	v5	10
v2	v6	7
	v7	-1
	v8	-1

接下来看v3可以通向的结点是v4 v6，权值分别是1 2。
数组S：v1 v2 v3
数组T：v4 v5 v6 v7 v8

前一个结点	当前结点	权值
v1	v2	3
v2	v3	4
v3	v4	6（1 + 4）
v2	v5	10
v3	v6	7（2 + 4）
	v7	-1
	v8	-1

同理得出新表

前一个结点	当前结点	权值
v1	v2	3
v2	v3	4
v3	v4	5
v2	v5	10
v3	v6	6
	v7	-1
	v8	-1

接下来看V4
数组S：v1 v2 v3 v4
数组T：v5 v6 v7 v8
v4可以通向的结点有v6和v7，权值分别是3 5

前一个结点	当前结点	权值
v1	v2	3
v2	v3	4
v3	v4	5
v2	v5	10
v3（v4）	v6	6(3+5)
v4	v7	-1（5）
	v8	-1

可以看出，当v6的上一个结点是v4的时候，它的最小权值是8，当v6的上一个结点是v3的时候，它的最小权值是6，所以这里不做替换。得出新表

前一个结点	当前结点	权值
v1	v2	3
v2	v3	4
v3	v4	5
v2	v5	10
v3	v6	6
v4	v7	5
	v8	-1

以此类推到最后的结果是：

前一个结点	当前结点	权值
v1	v2	3
v2	v3	4
v3	v4	5
v6	v5	8
v3	v6	6
v6	v7	7
v7	v8	12

最后可以得出从v1到v8的最小权值的路线是
v1->v2->v3->v6->v7->v8，权值为12。

图的应用在实际开发中，用的很少。但是它用到的数据结构和hashMap等数据结构有些相似的地方，用作了解吧。

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