Tarjan算法——边双和点双

边双连通分量

边双连通图：如果一个无向连通图中，没有割边，那么这个无向连通图就是一个边双连通图。

一个无向图的极大边双连通子图就是它的其中一个边双连通分量。
我们要解释下这里“极大”的概念：如果一个连通子图 G1 G 1 是边双，那么不存在一个原图的子图 G2 G 2 既满足 G1∈G2 G 1 ∈ G 2 又满足 G2是边双 G 2 是 边 双 。

边双的“极大”不是指整个图范围内的最大，而是所有把某一个边双作为子图的所有连通子图的范围内而谈的。

求法

tarjan求出所有割边，然后把割边去掉，就是一个个边双连通分量了。
然后只要去掉割边进行dfs染色就行了。

int low[maxn],dfn[maxn],cnt=0;
    bool bridge[maxm<<1];
    void tarjan(int x,int in_edge){
        dfn[x]=low[x]=++cnt;
        for(int i=head[x];i+1;i=a[i].next){
            int y=a[i].y;
            if(!dfn[y]){
                tarjan(y,i);
                low[x]=min(low[x],low[y]);
                if(low[y]>low[x])bridge[i]=bridge[i^1]=true;
            }
            else if(i!=(in_edge^1))
                low[x]=min(low[x],dfn[y]);
        }
    }
    int block[maxn],dcc=0;
    void dfs(int x,int color){
        block[x]=color;
        for(int i=head[x];i+1;i=a[i].next){
            int y=a[i].y;
            if(bridge[i])continue;
            if(!block[y])dfs(y,color);
        }
    }
    void get_edccs(){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(!block[i])
                dfs(i,++dcc);
    }

边双缩点

只要把所有的边双作为点，然后把割边保留下来建新树就行了。

点双连通分量

参照边双的定义，我们可以定义出点双：
在一个无向连通图中，如果没有割点，那么它是点双连通图。
如果只有两个点，那么也是点双。
一个无向图中的极大点双连通子图就是点双连通分量。
这里的“极大”同上。
我们可以发现，一个割点可以属于多个点双。但是一条割边不属于任何边双。

求法（如果不理解可以手推一组小数据）

开一个栈，tarjan递归访问到某个点的时候入栈，然后每次经过一条边 (x,y) ( x , y ) 而且x满足 low[y]>=dfn[x] l o w [ y ] >= d f n [ x ] 的时候不管x是不是割点，都把栈里的元素一一弹出，直到把y弹出，所有弹出的点，再加上x，构成一个点双。

void tarjan(int x,int in_edge){
        low[x]=dfn[x]=++cnt;sta[++t]=x;
        for(int i=head[x];i+1;i=a[i].next){
            int y=a[i].y;
            if(!dfn[y]){
                tarjan(y,i);
                low[x]=min(low[x],low[y]);
                if(low[y]>=dfn[x]){
                    int u;
                    dcc++;size=0;
                    vdcc.clear();
                    do{
                        u=sta[t--];
                        block[u]=dcc;
                        size++;
                        vdcc.push_back(u);
                    }while(u!=y);
                    block[x]=dcc;
                    vdcc.push_back(x);
                    size++;
                    work();
                }
            }
            else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
        }
    }

点双缩点

每一个割点建点，每一个点双建点，然后根据从属关系连边。
这里我们画个图吧