C++编程 杨辉三角

杨辉三角

 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。
杨辉三角的特点：
 （与上图中的n不同，这里第一行定义为n=1）

1. 每个数等于它上方两数之和。
2. 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3. 第n行的数字有n项。
4. 前n行共[(1+n)n]/2 个数。
5. 第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
6. 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
7. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即
   C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
8. (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
9. 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
   ……

第一种实现形式：
【二维数组实现杨辉三角 输出10行】

#include 
#include 
using namespace std;

/*杨辉三角最终显示效果是一个等腰三角形，两个最外边都是1
  杨辉三角的根本在于，每个数等于它上方两数之和
*/
int main(){
  const int n=11;//变量n在此处起到了限制输出行数的作用，可优化成用户输入
  int i,j,a[n][n];

  //使第一列和对角线元素的值为1
  for (i=1;i

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PS1：setw()函数的使用：
 C++函数std::setw的行为与在流上调用n作为参数的成员宽度一样，它作为操纵器插入/提取（在输入流或输出流上插入/提取）。
 它用于设置要在输出操作上使用的字段宽度。

特点：

1. setw（）是C ++中的库函数。
2. setw（）在#include 中声明
3. setw（）将设置字段宽度。
4. setw（）设置要用作 下一个插入操作的字段宽度的字符数 。
   
   参考资料：
    【C4learn.com】C ++ setw（）：设置字段宽度

PS2：std是什么意思？
 在C++中，std其实就是standard标准的意思，std是一个类（输入输出标准），它包括了cin成员和cout成员，using name space std ;以后才能使用它的成员。
 例如std::cin就是标准输入，std::cout就是标准输出的意思。
 #include ,它包含了一个类，在类的使用之前要预处理一下，using namespace std;就是这个功能，然后你就可以使用cin,cout这两个成员函数了，假设你不使用预处理（using namespace std;),就需要加上加上std::cin或者std::cout再去使用它的成员函数。

   参考资料：
    【百度知道】C++中"std::"是什么意思?

第二种实现形式：
【指针动态开辟空间，一维数组实现杨辉三角 输出任意行】
 该方法使用灵活，但是理解略显困难。

#include 
#include 
using namespace std;

int* YangHuiData(int n); //n是杨辉三角形的行数 
void YangHuiShow(int *pData, int n);//在屏幕上打印杨辉三角形 
int main() {
	int n;
	cout << "请输入杨辉三角形的行数";
	cin >> n;
	//计算杨辉三角并保存到二维数组
	int *pData = YangHuiData(n);
	//在屏幕上打印等腰三角形的杨辉三角 
	YangHuiShow(pData, n);
	//n是杨辉三角形的行数 
}
 
int* YangHuiData(int n) {
	int *a = new int[n*n]; ////用指针a指向new动态分配的长度为(n*n)*sizeof(int)的内存空间 

	//完成杨辉三角形的计算，没有显示的位置填0 
	int i, j;
	for (i = 0; i

代码分析图（以3x3为例）

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PS3：C++中如何正确的开辟一个动态的二维数组：

两种定义二维数组的方式，访问数据的方式，优缺点：

方法一：

定义方式：
int **p=new int*[10];
for (int i=0;i<=10;++i)
       {
              p[i]=new int[10];
        }
        
访问数据的方式：直接通过a[i][j]访问第i行第j列的数据。
优缺点：通过a[i][j]访问数据容易，但是new的次数太多，释放空间不容易。

方法二：

定义方式：

 int *p=new int[10*10];(ps:这种事当成一维数组连续开辟的。）
 
 访问数据的方式：通过a[i*10+j]来访问第(i*10+j)个数据。
 优缺点：访问数据很方便，且new的次数少，释放空间容易，但是不便于理解。

*图例：（看&p[9]和&p[10]等地址相差为4个字节，即它们是相连的，所以为一维数组）

   参考资料：
    【转载于 ycz_csdn】C++中如何正确的开辟一个动态的二维数组


参考资料：
【百度百科】杨辉三角
【coolsunxu】C++编写杨辉三角
【数学之美】杨辉三角(帕斯卡三角)的奇特性质
【百度经验】用例子理解排列组合及基本公式如何计算