查找算法java实现——斐波那契（黄金分割法）查找

一、基本思路

在介绍斐波那契查找之前，让我们先了解几个基本的概念：

1. 黄金分割点：是指把一条线段分成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值保留三位小数约为0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此成为黄金分割，也称为中外比。
2. 斐波那契数列：{1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…}即相邻两个数的和等于这两个数后面的数，通过计算我们可以发现，斐波那契数列中的两个相邻数的比例，无限接近黄金分割值0.618。

要注意的是：斐波那契查找和前面的两个查找方式类似，也要求待查找的序列是有序的。
基本思路： 斐波那契查找与二分查找和插值插值相似，只不过改变了划分的节点，不再是中点和插值点，而是位于黄金分割点附近，所以我们需要利用斐波那契数列的特性来找到这个黄金分割点。

1. 由斐波那契数F [ k ]＝ F [ k - 1] + F[ k - 2 ］的性质，可以得到（ F [k] - 1 ) = ( F [ k - 1] - 1 ) + ( F [ k - 2 ] - 1 ) + 1 。该式说明只要顺序表的长度为F[ k ］- 1 ，则可以将该表分成长度为 F[k - 1 ]- 1 和 F [ k - 2] - 1 的两段，即如图所示。从位置为 mid = low + F ( k - 1 ）- 1）
2. 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
3. 但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k］- 1 ，所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k]- 1 。这里的 k 值只要能使得 F[k]-1恰好少于或等于 n 即可，由以下代码得到，顺序表长度增加后，新增的位置（从 n + 1到 F[k］- 1 位置）,都赋值为 n 位置的值即可。
   while ( n > f[k]-1)
   k++；
   简单来说： 就是根据待排序列的个数，利用斐波那契数列找到一个大于等于序列个数的数，那么这个数前面两个数之比就是分割比例。

二、算法分析

斐波那契查找可以使用递归实现，也可以使用循环实现。
时间： 当用递归实现时，根据递归树的高度，可得时间复杂度O($2^n$)，当用循环实现时，时间复杂度位O(n)
空间： 当用递归实现时，空间复杂度O(n)，当用循环实现时，空间复杂度位O(n)

算法	平均时间	最好情形	最差情形	空间复杂度	备注
斐波那契查找	O(n)	O(n)	O($2^n$）	O(n)	待查表是有序表

三、代码实现

这里采用循坏来实现：

import java.util.Arrays;

/**
 * @author dankejun
 * @create 2020-05-03 14:49
 */
public class FibonaciSearch {
    public static int maxSize = 20;
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};
        System.out.println("下标为：" + fibSearch(arr,89));
    }

    //非递归得到一个斐波那契数列
    public static int[] fib() {
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i < f.length; i++) {
            f[i] = f[i - 2] + f[i - 1];
        }
        return f;
    }

    /**
     * 非递归的方式编写斐波那契查找算法
     * @param a 数组
     * @param key   需要查找的值
     * @return  如果找到，返回对应的下标，如果找不到，返回-1
     */
    public static int fibSearch(int[] a, int key) {
        int low = 0;//最左边元素的下标
        int high = a.length - 1;//最右边元素的下标
        int k = 0;//斐波那契分割数值的下标
        int mid = 0;
        int[] f = fib();
        //获取到斐波那契分割数值的下标
        while (high > f[k] - 1) {//未找到
            k++;
        }
        int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
        for (int i = high+1; i < temp.length; i++) {//将空的位置补齐
            temp[i] = a[high];
        }
        while (low <= high) {
            mid = low + f[k - 1] - 1;
            if (key < temp[mid]) {
                high = mid - 1;
                k--;
            } else if (key > temp[mid]) {
                low = mid + 1;
                k -= 2;
            } else {
                if (mid <= high) {
                    return mid;
                } else return high;
            }
        }
        return -1;
    }
}

测试序列： int arr[] = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};查找是否含有元素89
测试结果：

测试序列： int arr[] = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};查找是否含有元素34
测试结果：