The Counting Problem UVA - 1640 数学或数位DP

• 题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-1640
• 题目大意：给出整数a，b，统计在a到b的整数中(包括a，b)数字0-9分别出现了多少次
• 解析在代码注释中
• 数位DP代码：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const double eps = 1e-8;
const int maxn = 12;

int a[maxn], dp[maxn][maxn];
int Pow[maxn];   //Pow[i]代表10的i次方
//pos为当前到达的下标，pre为上一个数字，num为需要统计的数字
//lead判断前导是否有0，lim判断前面是否已到上限
int dfs(int pos, int pre, int num, bool lead, bool lim) {
    if(pos == -1) {
        if(!lead || num)
            return pre==num ? 1:0;
        else return 0;
    }
    if(!lim && !lead && ~dp[pos][pre])
        return dp[pos][pre];
    int up = lim ? a[pos] : 9;
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i <= up; ++i) {
        if(pre == num) {
            if(!lead || num) {
                if(i==up && lim) {    //到达上限，后面的取值不能大于原来该位的值
                    int t = 0;
                    for(int j = pos-1; j >= 0; --j)
                        t = t * 10 + a[j];
                    ans += t + 1;
                }
                //未到上限，后面的取值均可取0-9,所以是10的pos次方
                else ans += Pow[pos];
            }
            ans += dfs(pos-1, i, num, lead&&i==0, lim&&i==a[pos]);
        }
        else ans += dfs(pos-1, i, num, lead&&i==0, lim&&i==a[pos]);
    }
    if(!lim && !lead) dp[pos][pre] = ans;
    return ans;
}

int solve(int x, int num) {
    int i = 0;
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    while(x) {
        a[i++] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    return dfs(i-1, 10, num, num==0, true);
}

int main() {
    int l, r;
    Pow[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 9; ++i)
        Pow[i] = Pow[i-1] * 10;
    while(~scanf("%d%d", &l, &r) && (l||r)) {
        memset(dp, -1, sizeof(dp));
        if(l > r) swap(l, r);    //注意l可能大于r
        printf("%d", solve(r, 0) - solve(l-1, 0));
        for(int i = 1; i < 10; ++i)
            printf(" %d", solve(r, i) - solve(l-1, i));
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}

• 数学解法
• 记当前位为i
• 假设算234中有多少个3。先看个位，由于4 > 3，当个位取3时，前面两位只要分别不超过2,3即可，共有24种可能，即前面的数组成的数加1的结果乘以10的i-1次方。
• 计算十位时，3==3，发现当百位取的数小于2时，个位有0-9共10种取法，当百位取的数等于2时，个位只能取小于4的数，否则就会大于原来的数。即前面的各位数组成的数*10的i-1次方+后面的各位数组成的数+1。
• 计算百位时，由于2 < 3,显然不可能取，故无可取方案。
• 当数0的数量时，由于前导不能为0每次需要减去10的i次方

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 12;
inline void dbg(int x) {printf("# %d\n", x);}

int Ten[maxn];

int solve(int x, int num) {
    int ans = 0, suf = 0;    //suf为比当前位位数低的所有数字组成的数，比如数字1234，当前为千位时，suf就是234。ans为结果
    for(int i = 1; i < 9; ++i) {
        int t = (x % Ten[i]) / Ten[i-1];    //计算当前位的数字
        if(num < t)    
            ans += ((x / Ten[i]) + 1) * Ten[i-1];
        else if(num == t)
            ans += (x / Ten[i]) * Ten[i-1] + suf + 1;
        else
            ans += (x / Ten[i]) * Ten[i-1];
        suf = suf + t * Ten[i-1];
        if(!num) ans -= Ten[i-1];
        if(x < Ten[i]) break;
    }
    return ans;
}

int main() {
    int l, r; Ten[0] = 1;
    for(int i = 1; i < 10; ++i)
        Ten[i] = Ten[i-1] * 10;
    while(~scanf("%d%d", &l, &r) && (l||r)) {
        if(l > r) swap(l, r);
        printf("%d", solve(r, 0) - solve(l-1, 0));
        for(int i = 1; i < 10; ++i)
            printf(" %d", solve(r, i) - solve(l-1, i));
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}