猴子选大王 约瑟夫环问题

猴子选大王--约瑟夫问题浅析

猴子选大王--约瑟夫问题浅析

　　猴子选大王问题是一个十分经典的算法问题，这个问题是这样的：一堆猴子都有编号，编号是1，2，3 ...m，这群猴子（m个）按照1-m的顺序围坐一圈，从第1开始数，每数到第N个，该猴子就要离开此圈，这样依次下来，直到圈中只剩下最后一只猴子，则该猴子为大王。

　　这个问题要解决起来并不难，但求解的方法很多；题目的变化形式也很多，而我们统称这类问题为约瑟夫问题。这类题目基本的描述为：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的顺序是：5，4，6，2，3，1。下面我们先来分析一下解决这类问题的几个步骤。

　　（1）由于对于每个人只有死和活两种状态，因此可以用布朗型数组标记每个人的状态，可用true表示死，false表示活。

　　（2）开始时每个人都是活的，所以数组初值全部赋为false。

　　（3）模拟杀人过程，直到所有人都被杀死为止。

 

　　题目中N个人围成一圈，因而启发我们用一个循环的链来表示，可以使用数组结构来构成一个循环链表。结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成环形的链；其二为该人是否被杀死的标记，为1表示还存活。从第一个人开始对还存活的人进行计数，每数到M时，将结构中的标记改为0，表示该人已被杀死。这样循环计数直到有15个人被杀死为止。

　　但是，无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

 

　　

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1）) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m) mod i; (i>1）

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：

 

 1 package com.jredu100.ch4.test;
 2 
 3 import java.util.Scanner;
 4 /**
 5  * 约瑟夫问题
 6  * @author ymyBlogs
 7  *
 8  */
 9 public class Test11 {
10 
11     public static void main(String[] args) {
12         // TODO Auto-generated method stub
13         int s=0;
14         int M=3;
15         Scanner sc=new Scanner(System.in);
16         System.out.println("请输入人数：");
17         int n=sc.nextInt();
18         for(int i=2;i<=n;i++){  //注：此处第一个i=1或者2 都不影响结果 因为i=1时输出的编号为零 零带入公式不影响结果
19             s=(s+M)%i;
20         }
21         System.out.println("最终位置为：");
22         System.out.println(s+1);
23     }
24 
25 }

 

这个算法的时间复杂度为O(n），相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

转自 博客园https://www.cnblogs.com/ymyBlogs/p/8638082.html

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