【ZJOI2017】仙人掌 题解

题目大意

       给出一个无重边无自环的无向连通图（n 个点 m 条边），问有多少种再往上加边的方案，使得新图是仙人掌。
       多组数据， n<=5e5， ∑m <=1e6

首先

       先要判断读入的图是否是仙人掌。

一开始的想法

       部分分有树，就先想树怎么做。
       很直观地设 f[i] 表示 i 为根的子树的方案数，g[i] 表示有一条路要往上走的方案数。
       不考虑根的匹配的话，那就是儿子的 f 或 g 乘起来，并且保证 g 有偶数个，再乘上偶数个两两匹配的方案数。
       再考虑根的匹配，相当于枚举一个儿子，然后乘上其他儿子的方案数。

       但是这样做不到线性。因为仙人掌不能含有重边（儿子的根不能和父亲相连），因此在转移的时候，我们总是需要得出一个对所有儿子的值，然后再枚举去掉一个儿子之后的值，而前一个做不到 O(1)，因此后一个也不可能 O(n)。
       这样暴力做是 O(n^2) 的，据说 FFT 可以 log^2？？

对于树

       然后就需要一个转化。
       我们把最后的非环边强行看作两条重边，这样转化之后相当于每个点都必须要有一条延伸出去的边，也就是去掉了不能有重边的限制。（妙啊。。。）
       然后这样的 dp 就比之前的好转移了。f 就是儿子的 g 乘起来，再乘个两两匹配的方案数，g 就是 f 再加上选一个儿子出来然后其他儿子任意的方案数。（不懂请看代码）

       （这时的模型也可以看成是：选若干路径覆盖所有树边，的方案数）

对于无向图

       如果读入的图是个仙人掌，那只要把环边全部断掉就是森林了。因为环边不能参与任何运算，所以去掉是没问题的。
       （妙啊。。。×2）

代码

#include
#include
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn=5e5+5, maxm=1e6+5;
const LL mo=998244353;

int n,m;

int ReadInt()
{
    char ch=getchar();
    int data=0;
    while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    do{
        data=data*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    } while (ch>='0' && ch<='9');
    return data;
}

int tot,fro[2*maxm],go[2*maxm],next[2*maxm],f1[maxn];
bool bt[2*maxm];
void ins(int x,int y)
{
    fro[++tot]=x;
    go[tot]=y;
    bt[tot]=1;
    next[tot]=f1[x];
    f1[x]=tot;
}

int dfn[maxn],low[maxn],sum,z[maxn],z0,rt[maxn];
bool bz[maxn];
bool tarjan(int k,int last)
{
    dfn[k]=low[k]=++sum;
    bz[k]=1;
    z[++z0]=k;
    bool pd=0;
    for(int p=f1[k]; p; p=next[p]) if (go[p]!=last)
    {
        if (!bz[go[p]])
        {
            if (!tarjan(go[p],k)) return 0;
            low[k]=min(low[k],low[go[p]]);
            if (low[go[p]]if (pd) return 0;
                pd=1;
            }
        } else
        {
            low[k]=min(low[k],dfn[go[p]]);
            if (dfn[go[p]]if (pd) return 0;
                pd=1;
            }
        }
    }
    if (dfn[k]==low[k])
    {
        for(; z[z0]!=k; z0--) rt[z[z0]]=k;
        rt[k]=k;
        z0--;
    }
    return 1;
}

LL f[maxn],g[maxn],F[maxn];
void dfs(int k,int last)
{
    rt[k]=0;
    LL sum=1;
    int num=0;
    for(int p=f1[k]; p; p=next[p]) if (bt[p] && go[p]!=last)
    {
        dfs(go[p],k);
        num++;
        sum=sum*g[go[p]]%mo;
    }
    f[k]=F[num]*sum%mo;
    g[k]=(num==0) ?1 :(f[k]+sum*F[num-1]%mo*num)%mo ;
}

int T;
int main()
{
    F[0]=F[1]=1;
    fo(i,2,500000) F[i]=(F[i-1]+F[i-2]*(i-1))%mo;

    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        n=ReadInt(), m=ReadInt();
        tot=0;
        fo(i,1,n) f1[i]=bz[i]=0;
        fo(i,1,m)
        {
            int x=ReadInt(), y=ReadInt();
            ins(x,y), ins(y,x);
        }

        sum=0;
        if (!tarjan(1,0)) {printf("0\n"); continue;}
        fo(p,1,tot) if (rt[fro[p]]==rt[go[p]]) bt[p]=0;

        LL ans=1;
        fo(i,1,n) if (rt[i])
        {
            dfs(i,0);
            ans=ans*f[i]%mo;
        }

        printf("%lld\n",ans);
    }
}