欧拉函数求法与应用

欧拉函数简介：

写在前面：

欧拉函数只是工具：提供1到N中与N互质的数

定义和简单性质

欧拉函数在OI中是个非常重要的东西,不知道的话会吃大亏的.

欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.

对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1).

欧拉函数的一些性质:

1.对于素数p, φ(p)=p-1，对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1

欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数.

证明：

函数的积性即：若m,n互质,则φ(mn)=φ(m)φ(n).由“m,n互质”可知m,n无公因数,所以φ(m)φ(n)=m(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)·n(1-1/p1')(1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),其中p1,p2,p3...pn为m的质因数,p1',p2',p3'...pn'为n的质因数,而m,n无公因数,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'互不相同,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'均为mn的质因数且为mn质因数的全集,所以φ(mn)=mn(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)(1-1/p1')(1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),所以φ(mn)=φ(m)φ(n).

即φ(mn)=φ(n)*φ(m)只在(n,m)=1时成立.

2.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.

   φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).

3.除了N=2,φ(N)都是偶数.

4.设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).

根据性质2,我们可以在O(sqrt(n))的时间内求出一个数的欧拉函数值.

如果我们要求1000000以内所有数的欧拉函数,怎么办.

上面的方法复杂度将高达O(N*sqrt(N)).

我们来看看线性筛法的程序:

代码来源：http://blog.csdn.net/once_hnu/article/details/6302868

 //直接求解欧拉函数
 int euler(int n){ //返回euler(n)
      int res=n,a=n;
      for(int i=2;i*i<=a;i++){
          if(a%i==0){
              res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
              while(a%i==0) a/=i;
          }
      }
      if(a>1) res=res/a*(a-1);
      return res;
 }

它在O(N)的时间内遍历了所有的数,并且有很多的附加信息,

那么我们是不是能在筛素数的同时求出所有数的欧拉函数呢.

答案是可以.

φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1、p2…pk为n的所有素因子。
比如：φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4。
利用这个就比较好求了，可以用类似求素数的筛法。
先筛出N以内的所有素数，再以素数筛每个数的φ值。
比如求10以内所有数的φ值：
设一数组phi[11]，赋初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10；
然后从2开始循环，把2的倍数的φ值*(1-1/2)，则phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,phi[6]=6*1/2=3....；
再是3，3的倍数的φ值*(1-1/3)，则phi[3]=3*2/3=2,phi[6]=3*2/3=2，phi[9]=.....；
再5，再7...因为对每个素数都进行如此操作，因此任何一个n都得到了φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)的运算
觉得这个“筛”还是比较好用的，以前求数的所有因子之和也是用的它。
代码如下：

 
筛法求欧拉函数

void Init(){   
     euler[1]=1;  
     for(int i=2;i

欧拉函数的应用

我们知道，一个数K能分解成p1^(q1)*p2^(q2)...

那么，这个数的因子个数就是(1+q1)*(1+q2)*...*（1+qk）

1.HDOJ2588

来源：http://blog.csdn.net/ydd97/article/details/47858679

给定N,M求gcd(i,N)>=M的i的个数

我们可以分解N=a*b, i=a*d(b>=d 且b，d互质)，那么我们要求的就是a》=m的时候d的个数（b随a而确定）

由于b>=d且b，d互质，所以这个数目就是φ（b）-1  

但是，如果对于每个a枚举b，铁定超时。（仍然O((N-M)*sqrt(N))的复杂度）

但是如果单纯这样全部枚举的话依旧会超时，所以我们要想一个办法去优化它。

我们可以折半枚举，这里的折半并不是二分的意思。

我们先看，我们枚举时，当isqrt(n)之后 有b=n/i，我们观察到当n%i==0时，会出现一种情况，就是a*b==n。所以我们就可以只需要枚举sqrt(n)种情况，然后和它对应的情况就是 n/i。

我们这种枚举时间会快非常多

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 #include
 #include
 #include
 #include
 #include
 #include
 #include
 #include
 #include

 using namespace std;

 int euler(int n)
 {
     int res=n;
     for(int i=2;i*i<=n;i++){
         if(n%i==0){
            res=res/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
         }
     }
     if(n>1) res-=res/n;
     return res;
 }

 int main()
 {
     int t;
     scanf("%d",&t);
     while(t--){
         int n,m;
         scanf("%d%d",&n,&m);
         int ans=0;
         for(int i=1;i*i<=n;i++){
             if(n%i==0){
                 if(i>=m)ans+=euler(n/i); //计算sqrt(n)左边的
                 if(n/i>=m&&i*i!=n) ans+=euler(i);//计算sqrt(n)右边的i*i==n时，在上个语句已经执行  //（避免）完全平方算两次
             }
         }
         printf("%d\n",ans);
     }
     return 0;
 }

2.POJ2480

这里要注意一个问题：对于所有小于N的数字，和N互质的数和N的因数并不能覆盖从1到N的所有数，比如N=6,4既不是6的因数也不和6互质，对于所有因数的gcd的和很好求（简单排列组合），但是对于这些既不是因数也不互质的数，不是那么简单。

因此我想暴力实现，但是发现折半搜索失败了。原因是因为折半搜索只能搜索一个数字的因数，像刚才那样的N=6来说，4是没有被搜索到的

所以，想用整除性来搜索全部数字，是不可能的

利用积性函数的做法：

在数论中的积性函数：对于正整数n的一个函数 f(n)，当中f(1)=1且当a,b互质，f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。若某函数f(n)符合f(1)=1，且就算a,b不互质，f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性函数。

欧拉函数，gcd(n,k)(当k固定时)都是积性函数

且当i,j互素时，gcd(i*j,m)=gcd（i,m)*gcd(j,m),所以gcd(n,k)是积性函数

同时，积性函数的和也是积性函数

下文来源：http://lydws.blog.163.com/blog/static/22621105120152265175340/

大概只有我这种人不会做。。。

看了lyd大神（和我的名字好像。。。）的题解，有些懂了： 大神链接。

主要考察一个叫积性函数的东西：f(x*y)=f(x)*f(y)，中学数学经常见到。

积性函数还有个性质就是积性函数的和也是积性函数。

可以得到一个式子f(n)=f(p1^a1)*f(p2^a2)*f(p3^a3)*...*f(pk^ak)。不过目前我们不知道这个式子有什么用，6666666666666666。

再看本题，如果n和m互质，那么gcd(i,n*m)=gcd(i,n)*gcd(i,m)。∴gcd(i,n)是积性函数==>Σgcd(i,n)是积性函数。

设f(n)=Σgcd(i,n)，问题转换为求出所有f(pi^ai)。

下面来求f(pi^ai)：

首先明确，如果p是n的约数，那么满足gcd(i,n)==p的i的个数是Φ(n/p)。

证明：gcd(i,n)==p。设i=k*p,n=m*p。

则gcd(k,m)=1，也就是k和m互质，要求出满足条件的i的个数，就是求出i所对应的k的个数，即求m的欧拉函数，m=n/p，所以满足条件的i的个数就是Φ(m)=Φ(n/p)。

好了，用这种原则来求f(pi^ai)，就是枚举pi^ai的每个约数(其实就是pi^t,t<=ai)，然后求使gcd(i,pi^ai)==pi^t满足的i的个数，所以 个数*pi^t就是要求的答案的一部分。

公式： f(pi^ai)=Φ(pi^ai)+pi*Φ(pi^(ai-1))+pi^2*Φ(pi^(ai-2))+...+pi^(ai-1)* Φ(pi)+pi^ai*Φ(1)；

这里可以把求欧拉函数的部分化简，因为f(pi^ai)中只有一个约数pi，所以：

Φ(pi^ai)=pi^ai-pi^(ai-1)。

证明：小于pi^ai的正整数个数为p^ai - 1个；

其中，和pi^ai不互质的正整数有(pi*1,pi*2,...,pi*(pi^(ai-1)-1) )共计 pi^(ai-1)-1个。

∴ Φ(pi^ai)=pi^ai -1 -(pi^(ai-1)-1)=pi^ai-pi^(ai-1)。

然后整理得：f(pi^ai)= pi^ai*(1+ai*(1-1/pi))。

所以， f(n)=n*(1+a1*(1-1/p1))*(1+a2*(1-1/p2))*.…… =n* π(ai*pi+pi-ai)/pi；

本题解决！！！

写了两个小时，写完了，发现自己好弱，大神的一句话我都得反复琢磨还要问老师各种证明才能弄懂，差距很大，好大的压力。。。

弃坑

 3.HODJ 3501

小于N并且不互质的数字和

注意：判断互质不能用N%i==0，比如6，4,判断互质的方式是GCD

N的范围是32位整数范围

直观想法： 所有小于n且与n为非互质数和=所有小于n数的和-所有小于n且与n互质的数的和

 

原理：
 求所有小于N且与N为互质数的和：

        1.欧拉函数可求与N互质的数的个数
        2.

if gcd(n,i)=1 then gcd(n,n-i)=1 (1<=i<=n)
若已知m与n互质，则n-m也与n互质 

那么，对于任何一个i与n互质，必然n-i也和n互质，所以PHI（N）必然是偶数（除了2）

所以从1到N与N互质的数的和为PHI(N)*N/2（一对一对算）