抽象代数——群的基本定义和一些例子

群论的基本概念点较多，且各概念点之间关系纵横交错，学习起来颇有本科时初学线性代数时的感觉，觉得有必要整理一下，先梳理一下群的基本定义和例子。
首先作几点说明：
1、群(group)、环(ring)、域(field)是抽象代数(abstract algebra)中基本的代数结构(algebraic structures)
2、上述这些代数结构是抽象代数(abstract algebra)的研究对象之一，另一个研究对象是通过研究这些代数结构间的保持运算的映射(态射(morphism))
3、1872年，F.Klein在被聘为埃尔朗根大学的数学教授的就职演讲中阐述了几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量（《埃尔朗根纲领(Erlangen Program)》）

〇、前置概念

名称	英文名称	定义	说明
代数运算	Algebra Calculation	非空集合S与自己的笛卡尔积 S×S 到 S 的一个映射	在群论中通常是指所谓的二元代数运算
正交点变换			又称为保距变换(isometry)
正交矩阵	Orthogonal Matrix	AAT=ATA=E
酉矩阵	Unitary Matrix	UUH=UHU=En	式中H为共轭转置

一、群的定义

1、群的基本定义

序号	定义	说明
1	代数运算	定义了一个代数运算的非空几何
2	结合律	(ab)c=a(bc),∀a,b,c∈G
3	单位元存在律	∃s∈G,ea=ae=a,∀a∈G
4	逆元存在律	∀a∈G,∃b∈G,ab=e

2、 群定义的衍生

名称	英文名称	定义	说明
群	Group	满足前述全部4条群的基本定义的非空集合
半群	Semigroup	仅满足前述群的基本定义中的前2条的非空集合，即： 1）定义了集合上的代数运算 2）适用结合律 但是，并不要求存在单位元和逆元	也有地方称为仿群
幺半群	Monoid	满足前述群的基本定义中的前3条的非空集合，即： 1）定义了集合上的代数运算 2）适用结合律 3）存在单位元 但是，并不要求存在逆元
阿贝尔群	Abel Group	在满足前述全部4条群的基本定义的前提下，再补充一条：群元素满足交换律	ab=ba,∀a,b∈G

二、群的例子

1、生活中群的例子

名称	英文名称	说明
平面晶体群	Plane Crystallographic Group	又被称为贴墙纸群(Wallpaper Group) 已经G.Polya在1924年完成对平面晶体群的分类：共有17种不同的平面晶体群
空间晶体群	Space Crystallographic Group	Fedorov和Schonflies分别独立地证明了空间晶体群共有230个
魔方群	Rubik’s Cube group	https://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube_group

2、数集中群的例子

名称	符号	定义	说明
整数加群
实数加群
n次单位根群	Un		Un 的生成元成为复数域中的本原n次单位根(primitive n th root of unity)

3、几何中群的例子

中文名称	英文名称	符号	定义	说明
欧几里得群	Euclidean Group	En	n 维空间所有正交点变换的集合	E2 为平面欧氏群 E3 为空间欧氏群
二面体群	Dihedral Group	Dn	正 n 边形的对称（性）群， n≥3

4、代数中群的例子

中文名称	英文名称	符号	定义	说明
模n剩余类环		Zm	Zm=0,1,2,…,m−1	该群的生成元是 1¯(i¯=i1¯)
Zm 的单位群	Zm ’s Group of Units	U(Zm)或Z∗m	Zm=0,1,2,…,m−1	该群的生成元是 1¯(i¯=i1¯)
Zp 的乘法群		Z∗p	当m为素数p时， Zm 中所有非零元组成的集合对于乘法构成的一个abel群	该群是一个abel群 当m为素数时，根据欧拉定理 Zp 中的所有元素都有逆元(inverse unit)
一般线性群	General Linear Group	GLn(F)	域F上所有n级可逆矩阵组成的集合，对于矩阵的乘法所成的群	是矩阵群(Matrix Group)的一种
特殊线性群	Special Linear Group	SLn(F)	在一般线性群定义的基础上再补充定义，所有的矩阵行列式为1	是矩阵群(Matrix Group)的一种
正交群	Orthogonal Group	On	实数域上所有n级正交矩阵( AAT=ATA=E )组成的集合	是矩阵群(Matrix Group)的一种
特殊正交群	Special Orthogonal Group	SOn	在正交群定义的基础上再补充定义，所有的矩阵行列式为1	是矩阵群(Matrix Group)的一种 通常 SOn 被称为n维旋转群(Rotation Group) 它所指定的旋转对应的旋转轴可以通过求解一个线性方程组的基础解析来计算得到
酉群	Unitary Group	Un	复数域上所有n级酉矩阵组成的集合，对于矩阵乘法所成的群
特殊酉群	Special Unitary Group	SUn	在酉群定义的基础上再补充定义，所有的矩阵行列式为1
集合 Ω 的全变换群	Full Transformation Group on Set Ω	SΩ	非空集合 Ω 到自身的所有双射组成的集合，对于映射的乘法构成的一个群
n元对称群	Symmetric Group on n letters	Sn	SΩ ，当 Ω 为有限集合时	Sn 具备对称性 这时其中的每一个元素(是一个双射)被称为 Ω 的一个置换(permutation)，对于 Ω 有n个元素的情形，该置换被称为n元置换(permutation on n letters) Sn 中引入了r-轮换(r-cycle)的概念；特别的，当r=2时，轮换被称为对换(transposition)；并且可以说明：每一个置换都可以表示成一些对换的乘积 并且对于置换进一步引入了由其等价的对换分解式中的对换的个数的奇偶性确定的奇置换或偶置换
n元交错群	Alternating Group on n letters	An	Sn 中所有偶置换组成的集合

References

• 丘维声，抽象代数基础
• F. Klein，A comparative review of recent researches in geometry，http://arxiv.org/abs/0807.3161
• https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)
• https://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube_group