五点共圆

问题

这是个著名问题, 最初只是觉得好看，不过明显会繁琐，没想到证明这么方便。当然，辅助线还是让人眼花缭乱，如果不是Geogebra作图，效果仍不会太好。

源自： 单墫 数学竞赛教材

FGHIJ 是凸五边形； A,B,C,D,E 是不相邻的边交点。五个圆是五边形的边跟对应的交点组成三角形的外接圆。相邻外接圆之间除了五边形顶点之外还有 F′,G′,H′,I′,J′ 五个交点。证明这另外的五个交点共圆。

证明

∠CFG′=∠CGG′=∠G′AH⇒A,B,F,G′ 四点共圆
类似, A,B,F,J′ 四点也共圆; 从而 A,B,F,J′,G′ 五点共圆.

又因为:

180o=∠AG′J′+∠J′BA(inscribed quadrilateral)

=(∠AG′H′+∠H′G′J′)+∠J′BA

=∠AHH′+∠H′G′J′+∠II′J′

=∠II′H′+∠H′G′J′+∠II′J′

=∠H′G′J′+∠H′I′J′

∴G′,H′,I′,J′ 四点共圆, 类似地, H′,I′,J′,F′ 也共圆, 这就证明了 F′,G′,H′,I′,J′ 五点共圆.