杨辉三角的规律及Java实现

杨辉三角简介:
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623—-1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合 [2] 。
规律:
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n项。
4、第n行数字和为2n-1。
5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)（组合数性质
之一）[1]
6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 。[2]
7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)（n-1下标，m-1上标），即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
组合数计算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]
8、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。[3]
9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
10、将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……;细心的人可能会发现当n≥5时会不符合这一条性质，其实是这样的：把第n行的最右面的数字”1”放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位… …，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1。

Java代码实现:

package com.karle.redis;

import org.junit.Test;

/*杨辉三角的性质:
 1、每个数等于它上方两数之和。
 2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
 3、第n行的数字有n项。
 4、第n行数字和为2n-1。
 5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)（组合数性质之一）[1]
 6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即   。[2]
 7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)（n-1下标，m-1上标），即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数
    组合数计算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]
 8、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。[3]
 9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
 10、将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……;
 细心的人可能会发现当n≥5时会不符合这一条性质，其实是这样的：把第n行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，
 把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1。*/
public class DrawYH {
    /**
     * 本例采用杨辉三角的组合性质:C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]
     * @param num
     */
    public void drawYH(int num){
        int i,j,k,s;

        for(i=1;i<=num;i++){
            for(j=1;j<=i;j++){
                s=1;
                k=1;

                //计算第i行的第j个数
                for(k=1;k"%2d\t",s);
            }
            System.out.println();
        }
    }

    @Test
    public void draw(){
        int num=0;
        /*Scanner sc = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入杨辉三角的行数:");
        num=sc.nextInt();*/
        this.drawYH(10);
    }
}

结果如下:

参考资料:https://blog.csdn.net/thomashtq/article/details/43986049