学长亲授那些不为人知的数学解题技巧

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一、从当前说起

十月份来啦，距离初试还有80天左右的时间。九月份及十月初大家的精力都放在考研真题上了，这是非常正确的，一方面，你需要通过真题来估计你是否能考上心仪的学校；另一方面，你需要缩小你的复习范围，根据真题区分你的复习重点。此时，应该有这么四类考生：

第一类同学（一般是基础扎实的同学）通过真题，触类旁通，由考点归纳出重点，然后把重点仔细地又复习了一遍；

第二类考生，他们会发现真题并没有帮助他提高解题能力，如果是原题，我会解，但如果出题老师换了别的题目，我就不会了。换句话说，就是摸不清出题老师的“套路”。

当然最可悲的是第三类考生，他们肯定特别委屈，因为他们心仪的学校压根没有公布真题。（温馨提醒，真题信息最好和学校研招办或者该校学长联系，网上不明来历的真题慎买！）

第四类考生是不属于以上三类的其他考生。（o(∩_∩)o哈哈，开个玩笑！）

言归正传，上面提到的“套路”就是我要给大家说的“解题技巧”，它如同一张窗户纸，真题就像一扇窗口，只有捅破这层窗户纸才能看到屋里的东西。当然，没有真题的同学此时可以稍微感到欣慰了，因为虽然你不知道窗户在哪里，但是如果你可以将这张纸捅破或者撕破，也会心中有数的。

二、为什么解题技巧是窗户纸？

有同学就会问了，你凭什么说“解题技巧”是一层窗户纸，而不是别的东西呢？为了回答这个问题，我以个人经验来帮大家揣测一下出题老师的心理。（个人见解，不喜勿喷！）首先，初试是为了对大家的水平做一个区分。出题老师一方面想把这个题出的难一些，另一方面，又怕难倒大家，如果一场考试下来，大家都是空白卷，那还有什么区分呢？最好的结果，就是有高分，有低分，相互之间有差距，同时高分同学能接近满分。这样大家皆大欢喜：对老师，评阅卷子容易了；对即将成为他徒儿的准研究生，也是给了莫大的鼓励；对学校或专业也能展示出人才济济的一派繁荣景象。所以，大家就明白了，老师不会故意为难同学们的，这也就是为什么好多学校每年的真题总会出往年考过的原题。如果不是各个学校对出题有重复率的要求，估计会更多。

当然了，如果都是简单题，也不利于区分大家的水平，也会显得出题老师没有水平，所以出题老师会出一些比较难一点的题。聪明的数学老师，总是喜欢规律，他会找到一种规律来有效的化解这种矛盾，这个规律，或者是上面说的“套路”，也就是我们说的解题技巧。假设我是出题老师（不自量力的假设一下），我会选择这么几种方案：一、题型和解题方法不换，换题目，这对老师来说so easy，猜想出题老师一定偏好这一方法；二、题型不变，换方法，考察对某一知识点的总体掌握能力，出题老师偏好这个知识点；三、换题型，此时，往往已经换成对其他知识点的考察了，猜想这位出题老师一定希望大家均衡发展，或者喜欢尝试新的东西，一般情况下，这样的题不会很多，难度也不会很大。

总而言之，它应该是层窗户纸，不会是将你拒之门外的一堵墙。

三、如何捅破这层窗户纸

我个人的经验是，解题技巧包括三个层面：题型、解题方法、常用技巧。题型，常考题型一般是章节的重点知识，比如数学分析专业课常考题型有：数列求极限或证明极限存在，函数求极限，证明连续、一致连续，求零点，证明不等式（积分不等式），证明级数收敛，求幂级数的收敛半径（区域），求偏导数，求各种积分等等；解题方法指的是针对某一类题型，分别采用的不同方法（下面详述），这往往融合了我们对重要知识点的理解和掌握；常用技巧就是指解题的小技巧，比如“取对数”这个技巧，可以将乘积的形式化为和的形式，也可以将幂转好成乘积，使问题简单化了，这一技巧在求极限、求导数等问题中都会遇到。

我们以数列极限为例说明解题方法的重要性。有人曾说过：“假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限和函数的重要性。”针对这一题型，我的总结如下：

证明数列极限存在的几种方法

证明数列极限不存在的几种方法

一、ε-N定义

一、ε-N定义

二、单调有界定理

二、柯西收敛准则

三、柯西收敛准则法

三、无界数列（发散）

四、压缩收敛定理

四、有一个子列发散

五、Stolz定理（分母为∞型极限）

五、数列有两个收敛的子列，收敛于不同的值。

六、迫敛性

六、反证法，推出矛盾。

七、定积分的定义

八、级数收敛的必要条件

九、归结原则

我们知道数学是写出来的，当然这个总结也不是凭空捏造或者生拉硬扯来的，这也是通过大量做题，从题里总结到的。同时，只知道有这些方法还不够，我们还需要做两件事：第一，找到这一方法的典型题和练习题多加训练和揣摩，把握每种方法的特点；第二，给这些方法排序，看看哪些是常考的，哪些是不常考的。比如，出来一道求数列极限的题，如果我第一眼不能确定它是哪种方法，我应该按照我事先排好的顺序逐一对照。是“是用ε-N定义吗？”，“是单调有界定理吗？”等等。

必须再次强调的是，你必须反复去揣摩这些方法和典型例题，并适当训练一定的题，才能真正掌握这些方法。有真题的同学，不妨先将真题里的题型和方法做个梳理，然后针对这些考点，拓展该方法的训练题，然后还有时间的话，拓展该题型的方法，如果时间还够的话，就拓展题型；没有真题的同学，注意你要全面总结题型和方法了。

有些同学会问，怎么去找这些典型题和训练题呢？你可以按照这个顺序找《历年真题》，学校指定版本的《数学分析》（或《高等代数》），钱吉林的《数学分析解题精粹》（或《高等代数题解精粹》），裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》（比较厚）。

四、在考研云私塾突破技巧

同时，我也真心想为东方在线考研云私塾打一下广告，新东方在线确实是业界良心，相信大家做过比较后会说同样的话。我们在云私塾筹备初期，经过简历，电话面试，培训，试讲，批课，大纲的设计和修改等多个环节。虽然已经签订协议，课时费无忧了，但是还是想凭良心把这个课讲好，能够真正地对大家的提高有所帮助。

以上说到的也是我经过长期思考和摸索出来的一套方法，它也将呈现在我的直播课里，同时我已为大家精心挑选了典型例题、练习题，并穿插了许多常用技巧，请大家根据个人情况选择。课程标题为“《数学分析》数列求极限的方法与典型题讲解”，直播时间为10月10日开始，连续五天。

同时，在课程建立后，我又对课程内容进行进一步修订，增加了“函数极限”、“函数连续”章节，并且对原内容删繁就简，让部分例题变成了练习题，让原来“下马看花”的课，变成了，现在既可“走马观花”也可“下马看花”，以，尽量满足大家个性化的需求，节约大家的时间。虽然内容充实了，但是由于课程已经上线，题目已无法修改，望大家见谅！预祝大家考上心仪的研究生。个人水平和阅历有限，也请大家多提宝贵的意见和建议！欢迎大家关注新东方在线考研微信，获取更多学姐学长的备考经验文章。