【数字几何处理】Parameterization、deformation

Parameterization Types

Conformal (angle preserving): if the angle of every pair of intersecting curves on surface is the same as that of the corresponding preimages

Equiareal (area preserving): if every part of one domain is mapped onto a part in the other domain w/ the same area

Isometric (length preserving): if the length of any arc on surface is the same as that of its preimage. Isometric = conformal + equiareal

Overall deviation from these features (angle, area, length) defines the parameterization distortion (Slide 75)

Linear Parameterization Methods

网格的边界点会被映射到2维凸多边形的边界，剩下的点会通过解线性方程获得。

Disk Parameterization

使用一个半径为r的点放置参数化后的点，对于网格边界上的点$V_b=\left\{b_1,b_2......\right\}$,从一个处于边界上的边开始，丛其端点出发，访问它的邻居，如此迭代下去，这一系列点就有了顺序。而对于边界上的边，他们的sector angle由下面的式子确定：${\varphi }_i=\frac{2\pi ||e_i||}{{\Sigma }_i||e_i||}$

map with uniform weight

如果（i,i）是边界上的点，那么矩阵Wii值为1，如果（i，j）为边，且点i不是边界点，那么wij为一个正值，此处为uniform weights，值为1.如果ii是内部点，那么wii的值为所有邻接边之和的绝对值。

保角参数化，权重如下设置

如果网格存在钝角三角形的话，会出现负值，是的参数化不是双射的，进而导致二维三角形重叠，解决如下

自由边界参数化，在原有网格基础上在添加1+层虚拟边界，再映射到固定边界，由于原边界可以自由移动，所以扭曲更轻。

Spherical Parameterization Method

先裁出一块三角形作为边界，接着按disk parameterization进行映射，映射到二维，最后通过stereographic projection映射回球面。

把网格裁成两部分，每部分分别映射到一个disk，通过对disk中参数化后的点加一个合适的z值把它映射到两个半球。优点：less distorted，缺点：和裁切线的好坏有关。

对于星形多边形，找一个点p和所有点的连线不和其他边相交，从p点向所有边发射一条射线，在长度等于r时停止，这样就映射到了一个球面。

Deformation

FFD

自由变形技术，思想比较简单，在此简述一下：给模型套上一个cage，通过调整cage来间接影响模型。cage顶点影响格子内顶点可通过三线性插值等方法计算。

Differential Coordinate

其实整个算法的关键就在上面的式子里面：
regu项使变形后的网格模型的某些属性尽量和原始模型相同，match项使得控制点尽量移向用户用户指定的点。

这里的$\delta$描述了局部的变形程度，近似等于v周围的平均曲率和v处法向量的乘积。

公式推导，最后可以化成Ax=b的形式

ARAP

最后是arap，这段讲的很快，不是很仔细，可以看这里详细了解一下
https://cloud.tencent.com/developer/article/1514531