数学中的“齐次”

比较严格的说法还需参考维基百科中内容，本文只是个人简单理解与记录，不对的地方还请批评指正。

https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation

1. 齐次函数

定义：把函数的自变量乘以一个因子，如果此时因变量相当于原函数乘以这个因子的幂，则称此函数为齐次函数。如：

其中k称为齐次函数的次数（degree of homogeneity）。可以简单的理解为函数的每一项的次数均相同。

上述三个函数，前两个为齐次函数，最后一个为非齐次函数，可通过定义证明。

2. 齐次微分方程

微分方程的齐次性针对一阶微分方程和线性微分方程有两种说法：

2.1一阶微分方程

对与一阶常微分方程，若满足

其中f(x,y)为次数为0的齐次函数，则称其为一阶齐次微分方程。换一种表述形式：

若M(x,y)与N(x,y)为次数相同的齐次函数，则称其为一阶齐次微分方程。再换一种表述形式：

若方程右侧能表述称y/x的函数，则该方程为一阶齐次微分方程。例：

利用定义容易证明上述方程为一阶齐次微分方程。

2.2 线性微分方程

首先再说明一下线性微分方程的形式——没有非线性运算（如平方等），但可以有高阶微分，形式可表述为

上述方程称为n阶线性微分方程，当f=0时，方程为齐次方程。

对于线性微分方程，其解的线性叠加仍是该方程的解。

2.2.1 常系数线性齐次微分返程

对于该方程，欧拉（Euler）认为方程的解具有e^(zx)的形式，将其代入上述方程得：

消去e^(zx),可得：

加斯帕尔·蒙日 (Gaspard Monge，1746~1818)和柯西 (Augustin Louis Cauchy 1789-1857)认为该代数方程为原微分方程的特征方程。若该代数方程无重根，将该方程的n个解代入e^(zx)中可以得到原微分方程解空间的基；若方程有重根且重复度为m时，则

为该微分方程的解，因此总共还是n个线性无关的解构成了该方程解空间的基。

对于这种常系数线性齐次微分方程，任意n个线性无关的解均可视为方程解空间的基。

例

其特征方程为：

代数方程解为 i,-i,1(重复度为2)，则原微分方程解空间的基可以表述为：

     （1）

（1）的任意线性组合仍为原微分方程的解，则：

因此，cosx和sinx也是原方程的解，并且

彼此之间也是线性无关，因此也可以视为原微分方程解空间的基。

2.2.2 常系数非齐次线性微分方程

非齐次方程的解=对应的齐次方程的通解+特解

特解的计算可以通过待定系数法、变参法，具体实现可查阅相关资料。