数学中的“齐次”

比较严格的说法还需参考维基百科中内容,本文只是个人简单理解与记录,不对的地方还请批评指正。

https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation

1. 齐次函数

定义:把函数的自变量乘以一个因子,如果此时因变量相当于原函数乘以这个因子的幂,则称此函数为齐次函数。如:


其中k称为齐次函数的次数(degree of homogeneity)。可以简单的理解为函数的每一项的次数均相同




上述三个函数,前两个为齐次函数,最后一个为非齐次函数,可通过定义证明。

2. 齐次微分方程

微分方程的齐次性针对一阶微分方程线性微分方程有两种说法:

2.1一阶微分方程

对与一阶常微分方程,若满足

其中f(x,y)为次数为0的齐次函数,则称其为一阶齐次微分方程。换一种表述形式:


M(x,y)与N(x,y)为次数相同的齐次函数,则称其为一阶齐次微分方程。再换一种表述形式:


若方程右侧能表述称y/x的函数,则该方程为一阶齐次微分方程。例:


利用定义容易证明上述方程为一阶齐次微分方程。

2.2 线性微分方程

首先再说明一下线性微分方程的形式——没有非线性运算(如平方等),但可以有高阶微分,形式可表述为


上述方程称为n阶线性微分方程,当f=0时,方程为齐次方程。

对于线性微分方程,其解的线性叠加仍是该方程的解。


2.2.1 常系数线性齐次微分返程


对于该方程,欧拉(Euler)认为方程的解具有e^(zx)的形式,将其代入上述方程得:


消去e^(zx),可得:


加斯帕尔·蒙日 (Gaspard Monge,1746~1818)和柯西 (Augustin Louis Cauchy 1789-1857)认为该代数方程为原微分方程的特征方程。若该代数方程无重根,将该方程的n个解代入e^(zx)中可以得到原微分方程解空间的基;若方程有重根且重复度为m时,则


为该微分方程的解,因此总共还是n个线性无关的解构成了该方程解空间的基。

对于这种常系数线性齐次微分方程,任意n个线性无关的解均可视为方程解空间的基。


其特征方程为:


代数方程解为 i,-i,1(重复度为2),则原微分方程解空间的基可以表述为:

     (1)

(1)的任意线性组合仍为原微分方程的解,则:



因此,cosx和sinx也是原方程的解,并且


彼此之间也是线性无关,因此也可以视为原微分方程解空间的基。


2.2.2 常系数非齐次线性微分方程


非齐次方程的解=对应的齐次方程的通解+特解

特解的计算可以通过待定系数法、变参法,具体实现可查阅相关资料。

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