多项式 求逆/除法/取模/开根/ln/exp/求幂 （待添加多点求值）

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多项式求逆

给定$A(x)$求$B(x)=A^{-1}(x)(mod{x}^n)$
使用倍增构造。
若n=1，则直接求0次项的乘法逆元。
若n>1
设$B(x)$满足
$$A(x)B(x)\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n/2}$$

$$A(x)B(x)-1\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n/2}$$

$$(A(x)B(x)-1{)}^2\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$$

$$A^2(x)B^2(x)-2A(x)B(x)+1\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$$

$$A(x)(2B(x)-A(x)B^2(x))\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$$

$$2B(x)-A(x)B^2(x)\equiv A^{-1}(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$$

递归即可，复杂度$O(nlog(n))$

多项式除法

已知$A(x),B(x)$，它们的次数分别为$n,m(n>m)$

$$A(x)=B(x)C(x)+D(x)$$

求$C(x)$是除法，$D(x)$是取模，其中$C(x)$的系数不大于$n-m$，$D(x)$的系数小于$m$

首先可以发现$A^{\prime }(x)=x^{n}A(\frac{1}{x})$就是将A的系数翻转过来。

同乘$x^n$
那么
$$x^{n}A(\frac{1}{x})=x^{m}B(\frac{1}{x})x^{n-m}C(\frac{1}{x})+x^{n-m+1}{x}^{m-1}D(\frac{1}{x})$$

将这个东西$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n-m+1}$，可以发现对$C(x)$的系数不会有影响。
于是
$$A^{\prime }(x)\equiv B^{\prime }(x)C^{\prime }(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n-m+1}$$

$$C^{\prime }(x)\equiv A^{\prime }(x)B^{\prime -1}(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n-m+1}$$

于是多项式求逆，然后乘起来就没了。

多项式取模

$$A(x)=B(x)C(x)+D(x)$$

先除，再乘，再减，就没了。

多项式开方

给定$A(x)$求$B^2(x)=A(x)(mod{x}^n)$
使用倍增构造。
当n=1时，相当于求0次项的二次剩余。
（然而我并不会二次剩余，而且很多题里的常数项是真的常数，所以这里忽略二次剩余）

补一下二次剩余这个坑吧
我这辈子应该都学不会那个C开头的算法了。
但是可以BSGS对原根求出离散对数，把指数除个2，再幂回去。
对于二次剩余这个做法是正确的，如果指数是奇数不能除2，则这个数是没有二次剩余的。

（好像用后面的多项式求幂也能求这个）
当n>1时，
设$B(x),G(x)$满足
$$B^2(x)\equiv A(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n/2},G^2(x)\equiv A(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$$

$$G^2(x)-B^2(x)\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n/2}$$

两边平方
$$G^4(x)+B^4(x)-2G^2(x)B^2(x)\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$$

$$(G^2(x)+B^2(x){)}^2\equiv 4G^2(x)B^2(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n/2}$$

$$G^2(x)+B^2(x)\equiv 2G(x)B(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n/2}$$

因为$G^2(x)\equiv A(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$
$$A(x)+B^2(x)\equiv 2G(x)B(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n/2}$$

$$\frac{A(x)}{2B(x)}+\frac{B(x)}{2}\equiv G(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n/2}$$

求逆然后乘一乘，加一加就行了。

多项式求ln

$$ln(A(x))=\int [ln(A(x)){]}^{\prime }dx$$
$$=\int \frac{A^{\prime }(x)}{A(x)}dx$$
求导，求逆，然后积分即可。

多项式exp

牛顿迭代

有函数$g()$，解多项式$f$的前n项使$g(f)=0$
$f$有2n项，设前n项使$f_0$
对$g(f)$在$f_0$处泰勒展开
得
$$g(f)\equiv g(f_0)+g^{\prime }(f_0)(f-f_0)+\frac{g^{\prime \prime }(f0)(f-f_0{)}^2}{2!}+...\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2n}$$

注意到从第三项开始，在mod 2n意义下=0
所以
$$g(f)\equiv g(f_0)+g^{\prime }(f_0)(f-f_0)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2n}$$

$$\because g(f)=0$$

$$\therefore g(f_0)+g^{\prime }(f_0)(f-f_0)\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2n}$$

$$f\equiv f_0-\frac{g(f_0)}{g^{\prime }(f_0)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2n}$$

求exp

求$B(x)\equiv exp(A(x))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$
设$g(x)=ln(x)-A$，那么目标是$g(B)=0$
$$B\equiv B_0-\frac{g(B_0)}{g^{\prime }(B_0)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$$

$$\because g(B_0{)}^{\prime }=\frac{1}{B_0}$$

$$\therefore B\equiv B_0-B_0(ln(B_0)-A(x))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$$

$$B\equiv B_0(1+A(x)-ln(B_0))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$$
当n=1时直接求（程序中默认常数项=0）
当n>1时倍增

多项式求幂

先ln，再乘上幂数，再exp。

代码

这个代码对应的是bzoj3625 CF438E

#include
#include
#include
#include
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 3201000
#define ll long long
#define mo 998244353
using namespace std;
int n,m;
ll len,a[N],b[N],c[N];
ll mi(ll a,ll b)
{
	a%=mo;ll jy=1;
	for(;b;b/=2,a=a*a%mo) if(b%2==1) jy=jy*a%mo;
	return jy;
}
struct polynomial{
	ll D[N],W[N],A[N],B[N],C[N],E[N],F[N];
	void DFT(ll *a,int sig,int deg)
	{
		int len,lg;
		for(len=1,lg=0;len<=deg;len*=2,lg++);
		W[0]=1;W[1]=mi(3,(mo-1)/len);fo(i,2,len) W[i]=W[i-1]*W[1]%mo;
		fo(i,0,len-1)
		{
			int p=0;
			for(int j=0,tp=i;j