The Nth Item
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题意
给出递推式，求解每次 \(F[n]\) 的值，输出所有 \(F[n]\) 的 \(xor\) 值。
思路
对于线性递推数列，可以用特征方程求出他的通项公式，比如这题
\[ F[n] = 3F[n-1]+2F[n-2] \\ x^2 = 3x+2 \\ x = \frac{3\pm \sqrt{17}}{2} \]
令 \(F[n] = C_1x_1^n + C_2x_2^n\)
将 \(F[0]\) 和 \(F[1]\) 带入
\[ \begin{aligned} &\begin{cases} C_1 + C_2 = 0 \\ C_1\frac{3+ \sqrt{17}}{2} + C_2\frac{3- \sqrt{17}}{2} = 1 \end{cases} \\ &\begin{cases} C_1 = \frac{1}{\sqrt{17}}\\ C_2 = -\frac{1}{\sqrt{17}} \end{cases} \end{aligned} \]
即 \(F[n] = \frac{1}{\sqrt{17}} \left[\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)^n - \left(\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right)^n \right]\)
\(\sqrt{17}\) 可以通过二次剩余来得到其中一个可能的解，\(524399943\) 就是一个解。
令 \(p = \frac{3+\sqrt{17}}{2}，q=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\)，现在的问题就是解出 \(p^n\) 和 \(q^n\)。
首先因为 \(n\) 高达 \(1e18\)，可以利用欧拉降幂，把 \(n\) 降到 \(2mod-1\) 级别内，也即是 \(2e9\) 附近。
可以利用 \(n = x*50000+y\)，\(q^n = q^{x*50000} * q^y\)，将 \(q\) 在 \(5e4\) 以内的幂打表出来，在打出 \(q\) 的幂为 \(k*5e4\) 的表，然后就可以做到 \(O(1)\) 查询。
对于 \(q\) 也是相同的做法。
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> File Name : a.cpp
> Author : Jiaaaaaaaqi
> Created Time : Wed 11 Sep 2019 10:01:20 PM CST
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#include
