【总结】莫比乌斯反演

这是一篇有关莫比乌斯反演的总结

莫比乌斯反演是什么？

我也说不清

其实做完了这么多题后，我对莫反的理解就只是两个式子

然后在学莫反的过程中了解到了许许多多的套路，有用

最基础的，两个式子

我们假设有两个函数\(F(n)\)和\(f(n)\)

如果他们满足\[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\]

那么\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})\]

如果他们满足\[F(n)=\sum_{n|d}f(d)\]

那么\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)\]

其实式子很容易记

个人认为莫反真正有用的也就这两个式子了，那些性质理解了就行了，至于证明，OI从来没有证明

所以本篇不记录那些性质和证明，主要记录莫反到底怎么用，还有一些套路

莫比乌斯反演有什么用？怎么用？

• 1 莫反是什么时候用的
  • 一般用于推数论公式之中。有一些题目是数学方面的，题目含义转换后可能答案就是一个式子的值，可是那个式子在一定复杂度内算不出来怎么办？那么就要不断降低或省去那些需要枚举的地方。这就是我们俗称的推式子
  • 而在推式子的过程中就有可能需要使用莫反。大部分需要用莫反的标志是所谓的\(gcd\)
• 2 函数的设计
  • 函数的设计是一个关键点，也就是定义里的\(F(n)\)和\(f(n)\)
  • 当你推式子被\(gcd\)之类的卡住了的时候，不妨试一试莫反，设计出来的\(f(n)\)一般就是你被卡住的那一段式子，至于\(F(n)\)，必须要和\(f(n)\)相呼应，即要满足两对式子的条件，这样才能反演。感觉上，第二对式子，就是倍数关系那一对用得多一些
  • 设计出的\(F(n)\)最好能在进行一定推导后变成形式非常简单的东东，最好是\(O(1)\)计算的，反演给\(f(n)\)就很好用，不然反演就没有什么实质性的用处（当然不排除一些特殊用法）
• 3 \(\mu\)的处理
  • 通常情况下，因为\(\mu\)是积性函数，所以可以套路线性筛（积性函数筛的例子，可以见后文的[BZOJ 2693 jzptab]例题）
• 4 最终求解
  • 式子推完，我们一般可以得到一个整除分块的东西和一个需要前缀和的东西，而前缀和一般\(O(n)\)预处理
  • 整除分块的代码千篇一律：

    for(register int i=1;;)
    {
            if(i>n)break;
            int j=n/(n/i);  
            ans+=......;
            i=j+1;
    }

一些很强的小套路

• 设\(d(x)\)为\(x\)约数个数和，那么\(d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)=1]\)
• 经常性的改变枚举方式，只要枚举东西的本质相同，就放心去变（例如：\(\sum_{n|d}\)是枚举\(n\)的倍数，然后使用\(d\)，那么我们不如变成\(\sum_{k=1}^{limit_{up}}\)枚举\(d\)是\(n\)的\(k\)倍，然后使用\(d\)变成使用\(nk\)）
• 当式子中（多半是分母）出现两个字母\(id\)相乘的时候，不妨设\(T=id\)，然后把式子变成主要关于枚举\(T\)的
• 当式子中有东西可以变成整除分块，后面前缀和的部分不能在复杂度内处理完的时候，多半会用杜教筛，不妨试一试
• \(\sum_{i=1}^n\sum_{n|d}\)暴力求是\(nlnn\)的，而不是\(n^2\)
• 式子中如果有\(\sum_{...}^{...}\sum_{...}^{...}[...]\)，那么我们只需要枚举满足\([...]\)的对数就可以了，其它的都是没有贡献的
• 记住一些强大的公式，比如[洛谷 P3768 简单的数学题]中链接的那些

这些套路可能直接说并不是很清楚，可以借助后文的例题去理解

几道练习题

这些都是我最近练习的题目，有些很经典，有些很近代

大体上应该是按由易到难的顺序，而且题目之间可能会有关联，也会按顺序循序渐进地出现套路与方法

所以建议按照给出的顺序观看

注意函数的设计和式子的推法

（点击链接，看具体内容）

• BZOJ 2820 YY的GCD（这题会有几个套路和筛\(\mu\)的方法）
• 洛谷 P3455 [POI2007]ZAP-Queries
• BZOJ 2301 [HAOI2011]Problem b（这题和容斥结合在一起）
• BZOJ 3994 [SDOI2015]约数个数和（详细的推式子过程）
• BZOJ 3930 [CQOI2015]选数
• BZOJ 3529 [Sdoi2014]数表（题目要转化才能推式子，推完式子后又要用数据结构才能维护真正的答案）
• BZOJ 2154 Crash的数字表格（难一点的\(F(n)\)与\(f(n)\)函数，具备详细的推导）
• BZOJ 2693 jzptab（上一题的升级版，有积性函数的筛法）
• BZOJ 4816 [Sdoi2017]数字表格（从熟悉的\(\sum\)变成了\(\prod\)，如何继续用反演？）
• 洛谷 P3768 简单的数学题（杜教筛的推法以及一些闻所未闻的公式）

正好十道题，见证我初学莫比乌斯反演的历程

从未结束

从此，莫比乌斯反演的学习告一段落

要开始学习其它的东西了，以追赶他人的步伐

现在，继续努力！

转载于:https://www.cnblogs.com/hongyj/p/8584263.html