数据结构2——线段树

 一、相关介绍

线段树:它在各个节点保存一条线段(数组中的一段子数组),主要用于高效解决连续区间动态查询问题。由于二叉结构的特性,它基本能保持每个操作的复杂度为O(logn)。

线段树的每个节点表示一个区间,子节点则分别表示父节点的左右半区间,例如父亲的区间是[a,b],那么(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c],右儿子的区间是[c+1,b]。

 

下面我们从一个经典的例子来了解线段树,问题描述如下:

从数组arr[0...n-1]中查找某个(子)数组内的最小值,其中数组大小固定,但是数组中的元素的值可以随时更新

  • 对这个问题一个简单的解法是:遍历数组区间找到最小值,时间复杂度是O(n),额外的空间复杂度O(1)。当数据量特别大,而查询操作很频繁的时候,耗时可能会不满足需求。
  • 另一种解法:使用一个二维数组来保存提前计算好的区间[i,j]内的最小值,那么预处理时间为O(n2),查询耗时O(1), 但是需要额外的O(n2)空间,当数据量很大时,这个空间消耗是庞大的,而且当改变了数组中的某一个值时,更新二维数组中的最小值也很麻烦。

我们可以用线段树来解决这个问题:预处理耗时O(n),查询、更新操作O(logn),需要额外的空间O(n)。

 

根据这个问题我们构造如下的二叉树:

  • 叶子节点是原始数组array中的元素
  • 非叶子节点代表它的(即此非叶子节点的)所有子孙叶子节点所在区间的最小值

例如对于数组[2, 5, 1, 4, 9, 3]可以构造如下的二叉树(背景为白色表示叶子节点,非叶子节点的值是其对应数组区间内的最小值,例如根节点表示数组区间array[0...5]内的最小值是1): 

数据结构2——线段树_第1张图片

由于线段树的父节点区间是平均分割到左右子树,因此线段树是完全二叉树,对于包含n个叶子节点的完全二叉树,它一定有n-1个非叶节点,总共2n-1个节点,因此存储线段是需要的空间复杂度是O(n)。

 

二、算法实现

那么线段树的操作:创建线段树、查询、节点更新是如何运作的呢(以下所有代码都是针对求区间最小值问题)?

  • 创建线段树

对于线段树我们可以选择和普通二叉树一样的链式结构。由于线段树是完全二叉树,我们也可以用数组来存储,下面的讨论及代码都是数组来存储线段树,节点结构如下(注意到用数组存储时,有效空间为2n-1,实际空间却不止这么多,比如上面的线段树中叶子节点1、3虽然没有左右子树,但是的确占用了数组空间,实际空间是满二叉树的节点数目,准确地讲,实际空间应设为4n):

struct SegTreeNode{
  int val;
};

定义包含n个节点的线段树SegTreeNode segTree[n+1],segTree[1]表示根节点

那么对于节点segTree[i],它的左孩子是segTree[2*i],右孩子是segTree[2*i+1]。

我们可以从根节点开始,平分区间,递归的创建线段树,线段树的创建函数如下:

主要思想是递归构造,如果当前节点记录的区间只有一个值,则直接赋值,否则递归构造左右子树,最后回溯的时候给当前节点赋值。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int maxn = 1005;

struct SegTreeNode{
	int val;
};
SegTreeNode segTree[maxn];

/*
功能:构建线段树
root:当前线段树的根节点下标
arr: 用来构造线段树的数组
istart:数组的起始位置
iend:数组的结束位置
*/
void build(int root,int arr[],int istart,int iend)
{
	if(istart == iend)						//叶子结点 
		segTree[root].val = arr[istart];	/* 只有一个元素,节点记录该单元素 */ 
	else{
		int mid = (istart + iend)/2;
		build(2*root,arr,istart,mid);		//递归构造左子树 
		build(2*root+1,arr,mid+1,iend);		//递归构造右子树
		//根据左右子树根节点的值,更新当前根节点的值 
		segTree[root].val = min(segTree[2*root].val,segTree[2*root+1].val);	/* 回溯时得到当前node节点的线段信息 */ 
	}
}

int main()  
{
   int array[maxn];  
    array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;  
    build(1,array,0,5);  
    for(int i = 1; i<=20; ++i)  
       cout<< "seg"<< i << "=" <

此build构造成的树如图:

数据结构2——线段树_第2张图片数据结构2——线段树_第3张图片

  • 查询线段树

已经构建好了线段树,那么怎样在它上面查找某个区间的最小值呢?

查询的思想是选出一些区间,使他们相连后恰好涵盖整个查询区间,因此线段树适合解决“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”的问题。

主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分线段树上的节点,然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息。

比如前面一个图中所示的树,如果询问区间是[0,2],或者询问的区间是[3,3],不难直接找到对应的节点回答这一问题。

代码如下,具体见代码解释

/*
功能:线段树的区间查询
root:当前线段树的根节点下标,也称当前查询节点
[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间,也称当前节点存储的区间
[qstart, qend]: 此次查询的区间
*/
int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
{
    //查询区间和当前节点区间没有交集
    if(qstart > nend || qend < nstart)
        return INF;
    //当前节点区间包含在查询区间内
    if(qstart <= nstart && qend >= nend)
        return segTree[root].val;
    //分别从左右子树查询,返回两者查询结果的较小值
    int mid = (nstart + nend) / 2;
    return min(query(root*2, nstart, mid, qstart, qend),
               query(root*2+1, mid + 1, nend, qstart, qend));

}

可见,这样的过程一定选出了尽量少的区间,它们相连后正好涵盖了整个[qstart,qend],没有重复也没有遗漏。同时,考虑到线段树上每层的节点最多会被选取2个,一共选取的节点数也是O(logn)的,因此查询的时间复杂度也是O(logn)。

线段树并不适合所有区间查询情况,它的使用条件是“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”。即问题是可以被分解解决的。

举例说明(对照上面的二叉树):

1、当我们要查询区间[0,2]的最小值时,从根节点开始,要分别查询左右子树,查询左子树时节点区间[0,2]包含在查询区间[0,2]内,返回当前节点的值1,查询右子树时,节点区间[3,5]和查询区间[0,2]没有交集,返回正无穷INF,查询结果取两子树查询结果的较小值1,因此结果是1。

2、查询区间[0,3]时,从根节点开始,查询左子树的节点区间[0,2]包含在区间[0,3]内,返回当前节点的值1;查询右子树时,继续递归查询右子树的左右子树,查询到非叶节点4时,又要继续递归查询:叶子节点4的节点区间[3,3]包含在查询区间[0,3]内,返回4,叶子节点9的节点区间[4,4]和[0,3]没有交集,返回INF,因此非叶节点4返回的是min(4, INF) = 4,叶子节点3的节点区间[5,5]和[0,3]没有交集,返回INF,因此非叶节点3返回min(4, INF) = 4,因此根节点返回 min(1,4) = 1。

  • 单节点更新

单节点更新是指只更新线段树的某个叶子节点的值,但是更新叶子节点会对其父节点的值产生影响,因此更新子节点后,要回溯更新其父节点的值。

/*
功能:更新线段树中某个叶子节点的值
root:当前线段树的根节点下标
[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
index: 待更新节点在原始数组arr中的下标
addVal: 更新的值(原来的值加上addVal)
*/
void updateOne(int root, int nstart, int nend, int index, int addVal)
{
    if(nstart == nend)
    {
        if(index == nstart)//找到了相应的节点,更新之
            segTree[root].val += addVal;
        return;
    }
    int mid = (nstart + nend) / 2;
    if(index <= mid)//在左子树中更新
        updateOne(root*2, nstart, mid, index, addVal);
    else updateOne(root*2+1, mid+1, nend, index, addVal);//在右子树中更新
    //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值
    segTree[root].val = min(segTree[root*2].val, segTree[root*2+1].val);
}

比如我们要更新叶子节点4(addVal = 6),更新后值变为10,那么其父节点的值从4变为9,非叶结点3的值更新后不变,根节点更新后也不变。

  • 区间更新(线段树中最有用的)

区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值,因为涉及到的叶子节点不止一个,而叶子节点会影响其相应的非叶父节点,那么回溯需要更新的非叶子节点也会有很多,如果一次性更新完,操作的时间复杂度肯定不是O(logn),例如当我们要更新区间[0,3]内的叶子节点时,需要更新除了叶子节点3,9外的所有其他节点。为此引入了线段树中的延迟标记概念,这也是线段树的精华所在。

延迟标记:每个节点新增加一个标记域,记录这个节点是否进行了某种修改(这种修改操作会影响其子节点),对于任意区间的修改,我们先按照区间查询的方式将其划分成线段树中的节点,然后修改这些节点的信息,并给这些节点标记上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候,如果我们到了一个节点p,并且决定考虑其子节点,那么我们就要看节点p是否被标记,如果有,就要按照标记修改其子节点的信息,并且给子节点都标上相同的标记,同时消掉节点p的标记。(优点在于,不用将区间内的所有值都暴力更新,大大提高效率,因此区间更新是最优用的操作)

因此需要在线段树结构中加入延迟标记域,本文例子中我们加入标记域addMark,表示节点的子孙节点在原来的值的基础上加上addMark的值,同时还需要修改创建函数build 和 查询函数 query,其中区间更新的函数为update,代码如下:

const int INF = INT_MAX;
const int maxn = 1000;
struct SegTreeNode
{
    int val;
    int addMark;    //延迟标记,节点中的标记域可以解决N多种问题
}segTree[maxn];    //定义线段树

/*
功能:构建线段树
root:当前线段树的根节点下标
arr: 用来构造线段树的数组
istart:数组的起始位置
iend:数组的结束位置
*/
void build(int root, int arr[], int istart, int iend)
{
    segTree[root].addMark = 0;  //----设置标延迟记域
    if(istart == iend)//叶子节点
        segTree[root].val = arr[istart];
    else
    {
        int mid = (istart + iend) / 2;
        build(root*2, arr, istart, mid);//递归构造左子树
        build(root*2+1, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树
        //根据左右子树根节点的值,更新当前根节点的值
        segTree[root].val = min(segTree[root*2].val, segTree[root*2+1].val);
    }
}

/*
功能:当前节点的标志域向孩子节点传递
root: 当前线段树的根节点下标
*/
void pushDown(int root)
{
    if(segTree[root].addMark != 0)
    {
        //设置左右孩子节点的标志域,因为孩子节点可能被多次延迟标记又没有向下传递
        //所以是 “+=”
        segTree[root*2].addMark += segTree[root].addMark;
        segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark;
        //根据标志域设置孩子节点的值。因为我们是求区间最小值,因此当区间内每个元
        //素加上一个值时,区间的最小值也加上这个值
        segTree[root*2].val += segTree[root].addMark;
        segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark;
        //传递后,当前节点标记域清空
        segTree[root].addMark = 0;
    }
}

/*
功能:线段树的区间查询
root:当前线段树的根节点下标
[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
[qstart, qend]: 此次查询的区间
*/
int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
{
    //查询区间和当前节点区间没有交集
    if(qstart > nend || qend < nstart)
        return INF;
    //当前节点区间包含在查询区间内
    if(qstart <= nstart && qend >= nend)
        return segTree[root].val;
    //分别从左右子树查询,返回两者查询结果的较小值
    pushDown(root); //----延迟标志域向下传递
    int mid = (nstart + nend) / 2;
    return min(query(root*2, nstart, mid, qstart, qend),
               query(root*2+1, mid + 1, nend, qstart, qend));

}

/*
功能:更新线段树中某个区间内叶子节点的值
root:当前线段树的根节点下标
[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
[ustart, uend]: 待更新的区间
addVal: 更新的值(原来的值加上addVal)
*/
void update(int root, int nstart, int nend, int ustart, int uend, int addVal)
{
    //更新区间和当前节点区间没有交集
    if(ustart > nend || uend < nstart)
        return ;
    //当前节点区间包含在更新区间内
    if(ustart <= nstart && uend >= nend)
    {
        segTree[root].addMark += addVal;
        segTree[root].val += addVal;
        return ;
    }
    pushDown(root); //延迟标记向下传递
    //更新左右孩子节点
    int mid = (nstart + nend) / 2;
    update(root*2, nstart, mid, ustart, uend, addVal);
    update(root*2+1, mid+1, nend, ustart, uend, addVal);
    //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值
    segTree[root].val = min(segTree[root*2].val, segTree[root*2+1].val);
}

区间更新举例说明:当我们要对区间[0,2]的叶子节点增加2,利用区间查询的方法从根节点开始找到了非叶子节点[0-2],把它的值设置为1+2 = 3,并且把它的延迟标记设置为2,更新完毕;当我们要查询区间[0,1]内的最小值时,查找到区间[0,2]时,发现它的标记不为0,并且还要向下搜索,因此要把标记向下传递,把节点[0-1]的值设置为2+2 = 4,标记设置为2,节点[2-2]的值设置为1+2 = 3,标记设置为2(其实叶子节点的标志是不起作用的,这里是为了操作的一致性),然后返回查询结果:[0-1]节点的值4;当我们再次更新区间[0,1](增加3)时,查询到节点[0-1],发现它的标记值为2,因此把它的标记值设置为2+3 = 5,节点的值设置为4+3 = 7;

其实当区间更新的区间左右值相等时([i,i]),就相当于单节点更新,单节点更新只是区间更新的特例。

 

三、经典模板

  • 求区间的最值
  • 连续区间的动态查询问题
  • 区间求和

模板1:

RMQ,查询区间最值下标---min

#include    
  
using namespace std;    
    
#define MAXN 100    
#define MAXIND 256 //线段树节点个数    
    
//构建线段树,目的:得到M数组.    
void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])    
{    
    if (b == e)    
        M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标    
    else    
    {     
        build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);    
        build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);    
  
        if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])    
            M[node] = M[2 * node];    
        else    
            M[node] = M[2 * node + 1];    
    }    
}    
    
//找出区间 [i, j] 上的最小值的索引    
int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)    
{    
    int p1, p2;    
    
    //查询区间和要求的区间没有交集    
    if (i > e || j < b)    
        return -1;    
  
    if (b >= i && e <= j)    
        return M[node];    
   
    p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);    
    p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);    
    
    //return the position where the overall    
    //minimum is    
    if (p1 == -1)    
        return M[node] = p2;    
    if (p2 == -1)    
        return M[node] = p1;    
    if (A[p1] <= A[p2])    
        return M[node] = p1;    
    return M[node] = p2;    
    
}    
    
    
int main()    
{    
    int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.    
    memset(M,-1,sizeof(M));    
    int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};    
    build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);    
    cout<

 

模板2:

连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 (此模板查询区间和)

#include     
#include     
using namespace std;    
     
#define lson l , m , rt << 1    
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1   
#define root 1 , N , 1   
#define LL long long    
const int maxn = 111111;    
LL add[maxn<<2];    
LL sum[maxn<<2];    
void PushUp(int rt) {    
    sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];    
}    
void PushDown(int rt,int m) {    
    if (add[rt]) {    
        add[rt<<1] += add[rt];    
        add[rt<<1|1] += add[rt];    
        sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));    
        sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);    
        add[rt] = 0;    
    }    
}    
void build(int l,int r,int rt) {    
    add[rt] = 0;    
    if (l == r) {    
        scanf("%lld",&sum[rt]);    
        return ;    
    }    
    int m = (l + r) >> 1;    
    build(lson);    
    build(rson);    
    PushUp(rt);    
}    
void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {    
    if (L <= l && r <= R) {    
        add[rt] += c;    
        sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);    
        return ;    
    }    
    PushDown(rt , r - l + 1);    
    int m = (l + r) >> 1;    
    if (L <= m) update(L , R , c , lson);    
    if (m < R) update(L , R , c , rson);    
    PushUp(rt);    
}    
LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {    
    if (L <= l && r <= R) {    
        return sum[rt];    
    }    
    PushDown(rt , r - l + 1);    
    int m = (l + r) >> 1;    
    LL ret = 0;    
    if (L <= m) ret += query(L , R , lson);    
    if (m < R) ret += query(L , R , rson);    
    return ret;    
}    
int main() {    
    int N , Q;    
    scanf("%d%d",&N,&Q);    
    build(root);    
    while (Q --) {    
        char op[2];    
        int a , b , c;    
        scanf("%s",op);    
        if (op[0] == 'Q') {    
            scanf("%d%d",&a,&b);    
            printf("%lld\n",query(a , b ,root));    
        } else {    
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);    
            update(a , b , c , root);    
        }    
    }    
    return 0;    
} 

 

模板3:

多维空间的动态查询

 

四、沙场练兵

 

在代码前先介绍一些我的线段树风格:

 

  • maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2x的两倍
  • lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
  • 以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合lson和rson的预定义可以很方便
  • PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点
  • PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
  • rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

线段树的题目整体上可以分成以下四个部分:

 

单点更新:最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用PushUP(int r)这个函数更新上来

成段更新(通常这对初学者来说是一道坎),需要用到延迟标记(或者说懒惰标记),简单来说就是每次更新的时候不要更新到底,用延迟标记使得更新延迟到下次需要更新or询问到的时候

区间合并

这类题目会询问区间中满足条件的连续最长区间,所以PushUp的时候需要对左右儿子的区间进行合并

扫描线

这类题目需要将一些操作排序,然后从左到右用一根扫描线(当然是在我们脑子里)扫过去
最典型的就是矩形面积并,周长并等题

多颗线段树问题

此类题目主用特点是区间不连续,有一定规律间隔,用多棵树表示不同的偏移区间
 
具体题目 点击

 

转载于:https://www.cnblogs.com/xzxl/p/7232209.html

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