群、环、域的概念

代数：集合+运算

组成元素

1. 集合
2. 二元运算：“+”“·”封闭性
3. 单位元identity element：单位元与其他元素结合，不改变元素
4. 逆元素inverse element
5. 结合律 associative property (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
6. 交换律 commutative property a ∗ b = b ∗ a.

群：代数结构(R, *)

原群

只满足封闭性

半群（Semigroup）

满足结合律(ab)c=a(bc)的原群

幺半群（monoid）

满足结合律和存在单位元

群（group）

• 封闭性
• 结合律
• 单位元
• 逆元

阿贝尔群（Abelian）

在群的基础上满足交换律：a * b = b * a

环：代数结构(R, +, ·)

在阿贝尔群的基础上，添加一种二元运算·。

环公理：

1. (R,+)是阿贝尔群
2. (R,·)是幺半群
3. 乘法对加法满足分配律：
   a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
   (b + c) ⋅ a = (b ⋅ a) + (c ⋅ a)

域：代数结构(R,+,·,/(除零外，有逆元))

域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。
有理数、实数、复数可以形成域.

域公理

1. 满足环：
   1） (R,+)是阿贝尔群：加法封闭、结合律、幺元、逆元、交换律
   2）(R,·)是幺半群：乘法封闭、结合律、幺元
   3）乘法对加法满足分配律
2. 乘法除0外有逆元
3. 乘法满足交换律

Reference：群环域