【翻译】本福特定律和统计中的造假检测

英文原文地址:Benford’s Law and Accounting Fraud Detection

本福特定律

基本概念

本福特定律(也称为第一位数法或本福特分布)是一种概率分布,许多统计学的(但不是全部)数据集的第一个数字符合。 例如,

15435 是1
56    是5
9001  是9
199   是1
9     是9

本福特定律通常可用作欺诈性数据的指标,并可协助审计会计数据。本福特的分布是一种不均匀的分布,较小的数字比较大的数字有更大的出现j可能。

数位分布概率

第1位数字 出现概率
1 0.301
2 0.176
3 0.125
4 0.097
5 0.079
6 0.067
7 0.058
8 0.051
9 0.046

本福特分布图

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本福特分布公式

P ( d ) = l o g 10 ( d + 1 ) − l o g 10 d = l o g 10 ( 1 + 1 d ) P(d) = log_{10}(d + 1)-log_{10}d = log_{10}(1 + \frac{1}{d}) P(d)=log10(d+1)log10d=log10(1+d1)

本福特定律适用于哪类数据?

在大部分情况下,本福特定律可以适用于具有以下特征的数据:

  • 具有通过来自多个分布的数字的数学组合形成的值的数据。
  • 具有多种数字的数据,例如 具有数百,数千,数万等数值的数据。
  • 数据集相当大。
  • 数据是右倾斜的,即平均值大于中值,并且分布具有长的右尾而不是对称的。
  • 数据没有预定义的最大值或最小值(最小值为零)。

虽然有以上的限制,但实际上在会计中,符合上述特征的数据非常普遍。

会计欺诈检测与取证分析

应收账款,应付账款,销售和费用数据均基于两种类型的变量相乘的值,即价格和数量。 单独,价格和数量不太可能符合本福特定律,但很可能会成倍增加。 这种会计数据也可能是正确的。 大公司的交易级会计数据几乎总是会有大量的观察结果。

如果某些会计数据预计符合本福特定律但不符合,则并不一定意味着数据是欺诈性的。 然而,这将为进一步调查提供充分的理由。

以下是如何对会计数据执行本福特分布分析的一些示例。

示例1 大型企业的应付账款数据

分析显示,大型企业的应付几款的数据的数字第一位数字中有很大比例的1。经过仔细检查后发现,与上一个会计期间相比,还有更多的支付支票略高于1000美元。前一期的大部分支票金额低于100美元。

在一起财务调查中,负责的财务官随后受到质疑,他们回答称他们决定汇总金额以试图减少支票。低数字金额的合并是偏离本福特定律的常见解释,使财务官的解释变得合情合理。

经过进一步调查,据透露,该官员正在向他们创建的虚假壳公司写支票。

示例2:本福特的分析应用于组织的费用数据。

最初的本福特分析显示,数据的第一位数字中“非常大”的比例非常大。经过仔细检查,特定费用的许多条目达到45美元。发现费用对于运营组织至关重要,必须经常支付。调查了这笔特殊费用,然后被认为是合法的。

然后将Benford的分析应用于费用数据的副本,但省略了特定的频繁费用。发现排除该特定费用的数据与本福特的分布非常接近。

超越第一个数字推广本福特定律

通过查看第一个数字以外的数字,可以增强Benford的分析。

广义本福特的分布表

译者:本表的作用是表示分布规则还可以作用在不同的数位上。比如,0出现在第2位的概率是 11.97%,要高于平均值10%。

数位 第1位 第2位 第3位 第4位 第5位
0 NA 0.11968 0.10178 0.10018 0.10002
1 0.30103 0.11389 0.10138 0.10014 0.10001
2 0.17609 0.10882 0.10097 0.10010 0.10001
3 0.12494 0.10433 0.10057 0.10006 0.10001
4 0.09691 0.10031 0.10018 0.10002 0.10000
5 0.07918 0.09668 0.09979 0.09998 0.10000
6 0.06695 0.09337 0.09940 0.09994 0.09999
7 0.05799 0.09035 0.09902 0.09990 0.09999
8 0.05115 0.08757 0.09864 0.09986 0.09999
9 0.04576 0.08500 0.09827 0.09982 0.09998

注意:由以上数据可以看出,在广义分布中,数字的出现概率要比第一个数字更加均匀。

一般分布公式

P ( d ) = ∑ k = 1 0 n − 2 1 0 n − 1 − 1 l o g 10 ( 1 + 1 10 k + d ) P(d)=\sum_{k=10^{n-2}}^{10^{n-1} - 1}log_{10}(1 + \frac{1}{10k+d}) P(d)=k=10n210n11log10(1+10k+d1)

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