测度论与概率论笔记5：测度空间上的积分（下）

Lebesgue积分与Lebesgue-Stieltjes积分

Lebesgue积分与Riemann积分的关系

有关Riemann积分的可积性理论(数学分析笔记7：定积分)在数学分析里已经讲得很清楚了，这里不再赘述。Lebesgue积分即Lebesgue测度空间上的积分，下面我们将讨论Lebesgue积分和Riemann积分的关系。

定理5.1（Lebesgue积分与Riemann积分的关系） 若函数$f$在$[a,b]$上Riemann可积，则$f$在$[a,b]$上Lebesgue可积，并且$${\int }_{[a,b]}f(x)dx(L)={\int }_a^{b}f(x)dx(R)$$

证：
首先，如果$f$在$[a,b]$上可积，则$f$在$[a,b]$上有界，自然$f$在$[a,b]$上Lebesgue可积，其次，证明积分值相等。定义$$f_n=\sum _{k=0}^{2^n-1}{m}_k^n{I}_{\{a+\frac{k(b-a)}{2^n}\le x<a+\frac{(k+1)(b-a)}{2^n}\}},g_n=\sum _{k=0}^{2^n-1}{M}_k^n{I}_{\{a+\frac{k(b-a)}{2^n}\le x<a+\frac{(k+1)(b-a)}{2^n}\}}$$其中$m_k^n=\inf \{f(x):a+\frac{k(b-a)}{2^n}\le x\le a+\frac{(k+1)(b-a)}{2^n}\}，M_k^n=\sup \{f(x):a+\frac{k(b-a)}{2^n}\le x\le a+\frac{(k+1)(b-a)}{2^n}\}(k=0,1,2\cdots ,2^n-1)$，则设$|f|\le M>0$，就有$$|f_n|\le M,|g_n|\le M,n=1,2,\cdots$$并且$\{f_n\}$单调上升，$\{g_n\}$单调下降，并且$$f_n\le f\le g_n$$故$$\begin{gathered} {\int }_{[a,b]}{f}_n(x)dx(L)\le {\int }_{[a,b]}f(x)dx(L)\le {\int }_{[a,b]}{g}_n(x)dx(L) \\ {\int }_{[a,b]}{f}_n(x)dx(L)=\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^{2^n-1}{m}_k^n \\ {\int }_{[a,b]}{g}_n(x)dx(L)=\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^{2^n-1}{M}_k^n \end{gathered}$$并且$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^{2^n-1}{m}_k^n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^{2^n-1}{M}_k^n={\int }_a^{b}f(x)dx(R)$$由夹逼准则，就可以得到Riemann积分和Lebesgue积分值相等

定理5.2(Riemann可积的充要条件） $f$在$[a,b]$上有界，则$f$在$[a,b]$上Riemann可积的充要条件是$f$在$[a,b]$上的间断点集为Lebesgue零测集

为了证明定理5.2，我们要引入一个函数——振幅函数：
对于$x_0\in [a,b]$，定义$x_0$处$f$的振幅为$$w_f(x_0)=\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\sup \{|f(x_1)-f(x_2)|:x_1,x_2\in B(x_0,\delta )\cap [a,b]\}$$

1. 对$x_0\in [a,b]$，$f(x)$在$x_0$处连续的充要条件是$w_f(x_0)=0$
   如果$f(x)$在$x_0$处不连续，那么存在正数${\epsilon }_0>0$，对任意的$\delta >0$，存在$y$，$|y-x_0|<\delta$，并且$$|f(y)-f(x_0)|\ge {\epsilon }_0$$此时$w_f(x_0)\ge {\epsilon }_0>0$
   如果$f(x)$在$x_0$处连续，则对任意的正数$\epsilon >0$，存在$\delta >0$，当$|y-x_0|<\delta$时$$|f(y)-f(x_0)|<\epsilon$$因此对$y_1,y_2\in B(x_0,\delta )\cap [a,b]$，有$$|f(y_1)-f(y_2)|\le |f(y_1)-f(x_0)|+|f(y_2)-f(x_0)|<2\epsilon$$故$$0\le w_f(x_0)\le 2\epsilon$$由$\epsilon$的任意性$$w_f(x_0)=0$$
2. 于是$f$在$[a,b]$上全体间断点集为$\{x\in [a,b]:w_f(x)>0\}$
3. 再其次$w_f$是非负可测的：因为$\{w_f(x)<t\}$是开集（$t$为任意实数）
4. 若$f$在$[a,b]$上有界，则$${\int }_{[a,b]}{w}_f(x)dx=\overline{{\int }_a^b}f(x)dx-\underline{{\int }_a^b}f(x)dx$$由达布定理就可以知道$f$可积的充要条件是${\int }_{[a,b]}{w}_f(x)dx=0$，由$w_f$非负可测，${\int }_{[a,b]}{w}_f(x)dx=0$就等价于$w_f$几乎处处为0，这就等价于$w_f$的间断点集零测，下面证明上面的不等式：
   取一列不断加细的分划$\{{\Delta }_n\}$并且$\lambda ({\Delta }_n)\to 0$：记$$\begin{gathered} {\Delta }_n:a=a_0^{(n)}<a_1^{(n)}<\cdots <a_{N_n}^{(n)}=b \\ {m}_k^{(n)}=\inf \{f(x):a_{k-1}^{(n)}\le x<a_k^{(n)}\} \\ {M}_k^{(n)}=\sup \{f(x):a_{k-1}^{(n)}\le x<a_k^{(n)}\}(k=1,2,\cdots ,N_n) \\ {f}_n=\sum _{k=1}^{N_n}{m}_k^{(n)}{I}_{[a_{k-1}^{(n)},a_k^{(n)}]},g_n=\sum _{k=1}^{N_n}{M}_k^{(n)}{I}_{[a_{k-1}^{(n)},a_k^{(n)}]}(n=1,2,\cdots ) \end{gathered}$$显然$\{f_n\}$单调上升，$\{g_n\}$单调下降，故$\{g_n-f_n\}$单调下降，并且$$w_f(x)\le g_n-f_n$$并且$g_n-f_n\stackrel{a.e.}{}{w}_f(x)$，由于$\{{\Delta }_n\}$的所有分点可数，故是一个零测集，设所有分点的集合为$E$，对$x_0\in [a,b]-E$，由$w_f$的定义，对任意的$\epsilon >0$，存在${\delta }_0>0$，当$0<\delta \le {\delta }_0$时$$\begin{gathered} w_f(x_0,\delta )=\sup \{|f(x_1)-f(x_2)|:x_1,x_2\in B(x_0,\delta )\cap [a,b]\} \\ {w}_f(x_0,\delta )<w_f(x_0)+\epsilon \end{gathered}$$存在$N$，$n\ge N$时，$\lambda ({\Delta }_n)<\frac{{\delta }_0}{2}$，则此时$x_0$所在${\Delta }_n$的小区间完全包含于$x_0$的${\delta }_0$邻域内，故$w_f(x_0)\le g_n(x_0)-f_n(x_0)<w_f(x_0)+\epsilon$，故$$w_f(x_0)\le \underset{n\to \infty }{\lim }[g_n(x_0)-f_n(x_0)]\le w_f(x_0)+\epsilon$$由$\epsilon$的任意性，就有$$w_f(x_0)=\underset{n\to \infty }{\lim }[g_n(x_0)-f_n(x_0)]$$由于$f$有界，设$|f|\le M$，$|g_n-f_n|\le 2M$，由Lebesgue控制收敛定理，就有$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{[a,b]}[g_n(x)-f_n(x)]dx=\overline{{\int }_a^b}f(x)dx-\underline{{\int }_a^b}f(x)dx={\int }_{[a,b]}{w}_f(x)dx$$由此可以证得定理5.2
5. 由定理5.2，Riemann可积要求有界函数在$[a,b]$上几乎处处连续，这个条件是比较苛刻的，再结合定理5.1，可以看出Lebesgue积分是Riemann积分的推广

在反常积分的情况下，Riemann可积就不一定能推出Lebesgue可积，更具体地说，在绝对收敛的情况下，Riemann可积可以推出Lebesgue可积，但是Riemann积分还有条件收敛的情形，这种情况下，Riemann可积不能推出Lebesgue可积。

定理5.3 $f$在$[a,x]$上Riemann可积，$x\ge a$，并且$${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx<+\infty$$则$f$在$[a,+\infty )$上Lebesgue可积，并且$$(L){\int }_a^{\infty }f(x)dx=(R){\int }_a^{\infty }f(x)dx$$

证：
设数列$\{a_n\}$每一项都大于$a$并且收敛到$+\infty$，由于$f{I}_{[a,a_n]}\stackrel{a.e.}{}f$，并且$|f{I}_{[a,a_n]}|\le |f|$，$f$在$[a,+\infty )$上Lebesgue可积，由Lebesgue控制收敛定理，就有$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^{a_n}f(x)dx(L)=(L){\int }_a^{\infty }f(x)dx\\ =& \underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^{a_n}f(x)dx(R)=(R){\int }_a^{\infty }f(x)dx\end{array}$$

显然，从上面证明过程可以看出，当条件收敛时，$f$不是Lebesgue可积的，但是Riemann可积的，并且以上证明过程可以推广到瑕积分的情形，由此可见，在广义积分的情况下，Lebesgue积分不是Riemann积分的推广，恰恰舍弃了条件收敛的情形，因此，Riemann积分和Lebesgue积分各有所长，Lebesgue积分也不是Riemann积分的替代。
此外，Lebesgue积分也没有一般的计算方法，计算Lebesgue积分通常还要依靠Riemann积分进行，下面讨论的Lebesgue-Stieltjes积分也是如此，Riemann-Stieltjes积分在大多数情况下有计算方法，Lebesgue-Stieltjes积分则没有固定的计算方法，大多数情况还要化为Riemann-Stietjes积分进行计算。

Riemann-Stieltjes积分的定义与计算

Riemann-Stieltjes积分（下面简称RS积分）是Riemann积分的推广（下面简称R积分），也是分四步进行：对于左开右闭区间$[a,b)$上的有界函数$f(x),g(x)$：
第一步（划分区间）：将左开右闭区间划分为$$\Delta :a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$$第二步（取点）：取$${\xi }_k\in [x_{k-1},x_k)k=1,2,\cdots ,n$$第三步（作和式）：$$S(f,g,\Delta ,\xi )=\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta g_k$$其中，$\xi =({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n)$，$\Delta g_k=g(x_k)-g(x_{k-1}),k=1,2,\cdots ,n$
第四步（取极限）：如果$$\underset{\lambda (\Delta )\to 0}{\lim }S(f,g,\Delta ,\xi )=I$$则称$f$关于$g$是$RS$可积的，其中$\lambda (\Delta )=\underset{1\le k\le n}{\max }\Delta x_k$，$S(f,g,\Delta ,\xi )$称为$RS$和，积分记为${\int }_a^{b}f(x)dg(x)$，同样可以仿照R积分的定义给出RS积分的定义，两者是十分类似的，这里省略其严格定义。由上面定义过程可以看出，RS积分和R积分的唯一区别在于第三步，求和式时小区间长度被替换成$\Delta g_k$，当$g(x)=x$时，RS积分就退化成R积分，因此，RS积分是R积分的推广。

RS积分的可积性理论也可以仿照R积分的可积性理论建立起来，我们这里假设$g$是单调增函数，这里我们给出大致的思路，省略其证明：

1. 定义达布-斯蒂尔杰斯上和（后面简称DS上和）和达布-斯蒂尔杰斯下和（后面简称DS下和）$$\begin{gathered} \overline{S}(f,g,\Delta )=\sum _{k=1}^n{M}_k\Delta g_k \\ \underline{S}(f,g,\Delta )=\sum _{k=1}^n{m}_k\Delta g_k \end{gathered}$$其中，如无特别说明，$\Delta$指分划$$\Delta :a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$$$M_k,m_k$分别为$f$在$[x_{k-1},x_k)$上的上确界和下确界$(k=1,2,\cdots ,n)$
2. 平行于R积分的可积性理论，建立RS积分可积性理论的三个引理
   引理1：$\overline{S}(f,g,\Delta ),\underline{S}(f,g,\Delta )$是$f$关于$g$的一切RS和的上确界和下确界
   引理2：${\Delta }_1$是${\Delta }_2$的加细，则有$$\underline{S}(f,g,{\Delta }_2)\le \underline{S}(f,g,{\Delta }_1)\le \overline{S}(f,g,{\Delta }_1)\le \underline{S}(f,g,{\Delta }_2)$$引理3：对任意两个分划${\Delta }_1,{\Delta }_2$，都有$$\underline{S}(f,g,{\Delta }_1)\le \overline{S}(f,g,{\Delta }_2)$$
3. 定义RS上下积分：RS上积分定义为一切DS上和的下确界，RS瑕积分定义为一切DS下和的上确界
4. RS可积的充要条件是：$\underset{\lambda (\Delta )}{\lim }\sum _{k=1}^n{w}_k\Delta g_k=0$，其中$w_k$为$f$在$[x_{k-1},x_k)$上的振幅$(k=1,2,\cdots ,n)$
5. 对RS积分来说，达布定理不一定成立，因此上下积分相等只是RS可积的必要条件而非充分条件，这是RS积分可积性理论和R积分可积性理论不同的地方

如果$g(x)$只是一般的有界函数，那么就不能仿照Riemann积分的方式建立Riemann-Stieltjes积分的可积性理论，但是可以建立RS积分的柯西收敛原理准则：

定理5.4 $f(x),g(x)$为$[a,b)$上的有界函数，$f(x)$关于$g(x)$是$RS$可积的充要条件是：对于任意的$\epsilon >0$，$\exists \delta >0$，对于任意的两个分划${\Delta }_1,{\Delta }_2$，只要$\lambda ({\Delta }_1)<\delta ,\lambda ({\Delta }_2)<\delta$，对${\Delta }_1$的任意分点$\xi$，对${\Delta }_2$的任意分点$\zeta$，都有$$|S(f,g,{\Delta }_1,\xi )-S(f,g,{\Delta }_2,\zeta )|<\epsilon$$
这一定理的证明和实数域的柯西收敛原理的证明十分类似，在证明充分性时，可以取一个分划列$\{{\Delta }_n\}$，$\lambda ({\Delta }_n)\to 0$，${\Delta }_n$任意取分点${\xi }_n$，则证明$\{S(f,g,{\Delta }_n,{\xi }_n)\}$是柯西列，则存在一个极限$I$，继而证明$I$是积分值即可

同样地可以给出RS积分的若干性质：
双线性：
(1) 如果$f,g$都关于$h$是RS可积的，那么对于任意的实数$k_1,k_2$，$k_{1}f+k_{2}g$关于$h$是RS可积的，并且$${\int }_a^b[k_{1}f(x)+k_{2}g(x)]dh(x)=k_1{\int }_a^{b}f(x)dh(x)+k_2{\int }_a^{b}g(x)dh(x)$$(2) $f$关于$g,h$是RS可积的，则对于任意两个实数$k_1,k_2$，$f$关于$k_{1}g+k_{2}h$是RS可积的，并且$${\int }_a^{b}f(x)d[k_{1}g(x)+k_{2}h(x)]=k_1{\int }_a^{b}f(x)dg(x)+k_2{\int }_a^{b}f(x)dh(x)$$区间可加性： 如果$f(x)$关于$g(x)$在$[a,c),[c,b),[a,b)(a<c<b)$上均可积，则有$${\int }_a^{b}f(x)dg(x)={\int }_a^{b}f(x)dg(x)+{\int }_c^{b}f(x)dg(x)$$这一证明过程类似于R积分的区间可加性的证明过程，只不过，在R积分的情形下，$f(x)$关于$g(x)$在$[a,c),[c,b)$上均可积可以推出$f(x)$关于$g(x)$在$[a,b)$上可积，而在RS积分下却不可以作出这样的推论，同黎曼积分相同的是，如果$f(x)$关于$g(x)$在$[a,b)$上可积，在$[a,c),[c,b)$上也可积，证明可以用RS积分的柯西收敛原理准则进行，这里不详述。

接下来给出几种常用的RS可积的情形：
情形1： $f(x)$在$[a,b]$上连续，$g(x)$单调
这一情形的证明和R积分的相同的，这里省略
情形2： $f(x)$在$[a,b]$上R可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调且满足利普希茨条件：即对任意的$a\le x\le y\le b$，都有$$g(y)-g(x)\le L(y-x)$$其中$L$为常数
情形3： $f(x)$在$[a,b]$上R可积，而且$g(x)$可表为变上限积分的形式$$g(x)=c+{\int }_a^x\phi (t)dt$$其中，$\phi (x)$在$[a,b]$上绝对可积

第二种情况和第一种情况的区别在于，第二种情况放松了对$f(x)$的要求，但是加强了对$g(x)$的要求

RS积分的计算： 下面给出几种常见的RS积分的计算的方法：
情形1：$f(x)$在$[a,b]$上R可积，而且$g(x)$可表为变上限积分的形式$$g(x)=c+{\int }_a^x\phi (t)dt$$其中，$\phi (x)$在$[a,b]$上绝对可积，则$${\int }_a^{b}f(x)dg(x)={\int }_a^{b}f(x)\phi (x)dx$$
情形2： 左右跳跃函数$$\begin{gathered} {\rho }^{-}(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ 1& x\ge 0\end{array} \\ {\rho }^{+}(x)=\{\begin{array}{ll}0& x\le 0\\ 1& x>0\end{array} \end{gathered}$$如果$f(x)$在$x=c$处连续，$a<c\le b$，则$${\int }_a^{b}f(x)d{\rho }^{-}(x-c)=f(c)$$之所以不能$c=a$，是因为$c=a$时以上积分值为0，同理$a\le c<b$时$${\int }_a^{b}f(x)d{\rho }^{+}(x-c)=f(c)$$
情形3： $f(x)$在$[a,b]$上R可积，$g(x)$在$[a,b]$上连续，除去有限个点外，在$[a,b]$上有导数$g^{\prime }(x)$，并且$g^{\prime }(x)$在$[a,b]$上绝对可积，则$${\int }_a^{b}f(x)dg(x)={\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx$$这是情形1的直接推论

情形4： $f(x)$在区间$[a,b]$上连续，而$g(x)$除去有限个点$c_0=a<c_1<\cdots <c_{n-1}<c_n=b$外均可导，并且在这些点上$g$的左右极限均存在，并且$g^{\prime }(x)$在$[a,b]$上绝对可积，则$${\int }_a^{b}f(x)dg(x)={\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx+a_0^{+}f(a)+\sum _{k=1}^{n-1}f(c_k)[a_k^{-}+a_k^{+}]+f(b)a_n^{-}$$其中$a_0^{+}$为$g$在$a$处的右跳跃度，$a_k^{+},a_k^{-}$为$g$在$c_k$处的右跳跃度和左跳跃度，$a_n^{-}$为$g$在$b$处的左跳跃度

Lebesgue-Stietjes积分与Riemann-Stietjes积分的关系

随机变量的期望

期望的统一定义与性质

随机变量函数的期望——佚名统计学家公式

随机变量的矩