【2.2】 数学建模之TOPSIS（优劣解距离模型）|极小型、中间型、区间型指标的正向化的方法|各种指标正向化的MATLAB代码讲解

• 一、极小型指标转化为极大型指标
• 二、中间型指标转化为极大型指标
• 三、区间型指标转化为极大型指标
• 四、各种类型指标正向化的整体代码

一、极小型指标转化为极大型指标

上图显示了将“与人争吵的次数”这一极小型指标转化为极大型指标的结果

具体的讲极小型指标转换为极大型指标的公式如下：
$$\max -x$$
如果所有极小型指标的数据都为整数，那么也可以用如下公式进行转换：
$$\frac{1}{x}$$

MATLAB代码示例如下：

function [posit_x] = Min2Max(x)
    posit_x = max(x) - x;
     %posit_x = 1 ./ x;    %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
end

---

二、中间型指标转化为极大型指标

中间型指标的特点：指标的值既不要太大也不要太小，取某个特定的值最好(例如：评估水质量用到的PH值)
$$\left\{x_i\right\}是\text{一组中间型指标序列，且最佳的数值}为x_{best},\text{那么正向化的公式如下：}$$

$$M=\max \left\{\left|x_i-x_{best}\right|\right\},\text{转换值计算}{\tilde{x}}_i=1-\frac{\left|x_i-x_{best}\right|}{M}$$

下面是一个该类型指标转换的示例：

该示例计算用到的中间参数为：
$$x_{best}=7$$

$$M=\max \left\{\left|6-7\right|,\left|7-7\right|,\left|8-7\right|,\left|9-7\right|\right\}=2$$

MATLAB代码示例如下：

function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
    M = max(abs(x-best));
    posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
end

---

三、区间型指标转换为极大型指标

区间型指标：指标落在某个区间内最好，例如人的体温在36摄氏度~37摄氏度这个区间较好
$$\left\{x_i\right\}是\text{一组}区\text{间型指标序列，且最佳的}区\text{间}为\left[a,b\right],\text{那么正向化的公式如下：}$$

$$M=\max \left\{a-\min \left\{x_i\right\},\max \left\{x_i\right\}-b\right\},{\tilde{x}}_i=\{\begin{array}{l}1-\frac{a-x_i}{M},x_i<a\\ 1,a⩽x_i⩽b\\ 1-\frac{x_i-b}{M},x_i>b\end{array}$$

该示例计算用到的中间参数为：
$$a=36,b=37$$

$$M=\max \left\{36-35.2,38.4-37\right\}=1.4$$

MATLAB代码示例如下：

%代码中的a和b分别是最佳区间的下届和上界
function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
    r_x = size(x,1);  % row of x 
    M = max([a-min(x),max(x)-b]);
    posit_x = zeros(r_x,1);   %zeros函数用法: zeros(3)  zeros(3,1)  ones(3)
    % 初始化posit_x全为0  初始化的目的是节省处理时间
    for i = 1: r_x
        if x(i) < a
           posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;
        elseif x(i) > b
           posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;
        else
           posit_x(i) = 1;
        end
    end
end

---

四、各种类型指标正向化的整体代码

% function [输出变量] = 函数名称(输入变量）  
% 函数的中间部分都是函数体
% 函数的最后要用end结尾
% 输出变量和输入变量可以有多个，用逗号隔开
% function [a,b,c]=test(d,e,f)
%     a=d+e;
%     b=e+f;
%     c=f+d;
% end
% 自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同）

function [posit_x] = Positivization(x,type,i)
% 输入变量有三个：
% x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
% type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量
    if type == 1  %极小型
        disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )
        posit_x = Min2Max(x);  %调用Min2Max函数来正向化
        disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 2  %中间型
        disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )
        best = input('请输入最佳的那一个值： ');
        posit_x = Mid2Max(x,best);
        disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 3  %区间型
        disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )
        a = input('请输入区间的下界： ');
        b = input('请输入区间的上界： '); 
        posit_x = Inter2Max(x,a,b);
        disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    else
        disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')
    end
end

---

更多有关与TOPSIS模型的经典获奖论文，以及建模论文模板等资料关注公众号，回复，“TOPSIS”，即可免费领取！！！