从小概率事件说起
文章目录
- 从小概率事件说起--"思政"
- 一、前言
- 二、Bernoulli概型
- 三、参考文献
从小概率事件说起–“思政”
关键词：小概率事件 思政
一、前言
引言: 正如著名数学家 L a p l a c e Laplace Laplace所说[1]：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是
概率问题。” 因此，学习概率论是非常有必要的。站得高才能看得远，知识大厦只有建立在深厚的道德伦理的基础之上才能坚如磐石。在概率论的学习过程中，我们经常会发现许多存在于生活中的一些有趣现象的原理。
比如频率与概率,就体现了唯物论中偶然性与必然性的对立统一。恩格斯[2]指出"在表面偶然性起作用的地方，这种偶然性始终是受内部隐藏的规律支配的，而我们的问题只是在于发现这些规律。"
频率[3]是个试验值，具有偶然性，可能有多个不同的取值。而概率是客观存在的，具有必然性。只能取唯一值。当试验次数较少时，频率与概率偏差较大，体现为对立性；但是当试验次数较大时，就会发现频率稳定在某一常数附近，这个常数,就是指事件的概率，反映出统一性。
但是应该注意到，这里的依概率意义收敛不同于数学分析中收敛的概念，不能用 lim n → ∞ n A n = P ( A ) = p \lim_{n \to \infty} \frac{n_{A}}{n}=P(A)=p limn→∞nnA=P(A)=p描述，这可以从表 1 1 1掷硬币的结果中看出。
随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。随着试验次数的无限增大，某一事件发生的频率渐渐趋近于某个常数，即在某种收敛意义下逼近某一常数。在这个常数附近摆动，这就是所谓的"频率稳定性"。 B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli概型可以看作是从数学角度把"在一定条件下"、"重复试验"等术语的涵义加以明确化。
比如说,具体到某人经常抽烟也不一定得肺癌,具有
偶然性；但是以大量人群为研究对象，经常抽烟的人比不抽烟的人得肺癌的概率高出很多倍,就是必然的了。
又如中心极限定理，体现了量变到质变的转化规律。李雅普诺夫中心极限定理中的各个随机变量 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n \xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n} ξ1,ξ2,⋯,ξn不管服从什么分布，只要满足定理条件，那么它们的和 ∑ i = 1 n ξ i \sum_{i=1}^{n}\xi_{i} ∑i=1nξi这个随机变量，当 n n n很大时，就会发生质的变化–服从或近似服从正态分布
记 N A N_{A} NA为 n n n次 B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli试验中事件 A A A发生的次数，则事件A发生的概率为 n A n \frac{n_{A}}{n} nnA。 n A n_{A} nA是一个
随机变量，且 n A ∼ B ( n , p ) n_{A}\sim B(n,p) nA∼B(n,p)，且 E ( n A ) = n p E(n_{A})=np E(nA)=np， D ( n A ) = n p ( 1 − p ) D(n_{A})=np(1-p) D(nA)=np(1−p)。由于随机性，显然当 n n n很大时， n A n_{A} nA的取值也很大，直接考察 n A n_{A} nA的性质会不大方便。因此考虑频率n A n \frac{n_{A}}{n} nnA的性质。由于
E ( n A n ) = 1 n E ( n A ) = p E(\frac{n_{A}}{n})=\frac{1}{n}E(n_{A})=p E(nnA)=n1E(nA)=p且
D ( n A n ) = 1 n 2 D ( n A ) = 1 n p ( 1 − p ) D(\frac{n_{A}}{n})=\frac{1}{n^{2}}D(n_{A})=\frac{1}{n}p(1-p) D(nnA)=n21D(nA)=n1p(1−p)可见，当 n → ∞ n\to\infty n→∞时，频率的数学期望为 p p p且保持不变，而方差却趋于 0 0 0。由随机变量的数字特征可知，方差为 0 0 0的随机变量以概率 1 1 1取某常数。于是，当 n → ∞ n\to\infty n→∞时，频率将趋于常数 p p p(事件 A A A发生的概率)，值得注意的是 n A n \frac{n_{A}}{n} nnA虽然是随机变量(不是普通变量)，不能用数分中的极限定义。关于
频率接近于概率的描述
lim n → ∞ P { ∣ n A n − p ∣ ≥ ϵ } = 0 \lim_{n\to\infty}P\left\{ |\frac{n_{A}}{n}-p|\geq\epsilon\right\}=0 n→∞limP{∣nnA−p∣≥ϵ}=0历史上， B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli第一个研究了这种类型的极限定理，这是弱大数定律中的一个。波雷尔建立了另一种形式的极限定理，即
P ( lim n → ∞ n A n = p ) = 1 P(\lim_{n\to\infty}\frac{n_{A}}{n}=p)=1 P(n→∞limnnA=p)=1开创了强大数定律的研究。
历史上有一些较著名的例子如掷硬币。
均匀的硬币抛掷多次，正面和背面出现的次数比例
接近于1 : 1 1:1 1:1，而且大体上抛掷次数足够多，便接近这个比例( n H n_{H} nH是正面朝上的次数)
| 试验者 | n | nH | fn(H) | Δ |
|---|---|---|---|---|
| 徳 ⋅ \cdot ⋅摩根 | 2048 | 2061 | 0.5181 | +0.0181 |
| 蒲丰 | 4040 | 2048 | 0.5069 | +0.0069 |
| K ⋅ K\cdot K⋅皮尔逊 | 24000 | 12012 | 0.5005 | +0.0005 |
| 诺夫斯基 | 80640 | 40173 | 0.4982 | -0.0018 |
注:表 1 1 1最后一列是
频率与 0.5 0.5 0.5的误差，还可以通过直方图更加清楚地看出。
接下来我们讨论在 B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli试验中，量变与质变的转化规律
二、Bernoulli概型
独立试验概型在概率论理论和应用方面起着十分重要的作用，随机现象的
统计规律性只有在相同条件下独立地进行大量的重复试验或观察才能呈现出来
n n n次重复试验称为 n n n次独立试验概型，若:
- i) 每次条件都一样，且可能的结果为
有穷个; - ii) 各次试验的结果互不影响，或者称为
相互独立.
i) 意味着每次试验所对应的
概率空间都是一样的，不妨设为 ( Ω , F , P ) (\Omega,F,P) (Ω,F,P)，其基本事件为有穷个。ii) 表示"第 1 1 1次试验出现的事件为 A i 1 A_{i1} Ai1，第 2 2 2次试验出现的事件为 A i 2 ， ⋯ A_{i2}，\cdots Ai2，⋯，第 n n n次试验出现的事件为 A i n A_{in} Ain"这一事件的概率为 P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) ⋯ P ( A i n ) P(A_{i1})P(A_{i2})\cdots P(A_{in}) P(Ai1)P(Ai2)⋯P(Ain).
特别地，当每次试验的基本事件只有两种，即只有两个事件 A A A和 A ˉ \bar{A} Aˉ，且 P ( A ) = p P(A)=p P(A)=p， P ( A ˉ ) = 1 − p P(\bar{A})=1-p P(Aˉ)=1−p，称为 n n n次 B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli试验概型，不产生混乱时，简称为 B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli概型或 B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli试验。
Bernoulli 试验的概率空间可以描述为 F = Ω , A , A ˉ , ϕ F=\Omega,A,\bar{A},\phi F=Ω,A,Aˉ,ϕ，其中 A A A为 Ω \Omega Ω的非空真子集。任取两个正数 p p p和 q q q(p+q=1)，令
P ( ϕ ) = 0 , P ( A ) = p , P ( A ˉ ) = 1 − p , P ( Ω ) = 1 (1) P(\phi)=0,P(A)=p,P(\bar{A})=1-p,P(\Omega)=1\tag{1} P(ϕ)=0,P(A)=p,P(Aˉ)=1−p,P(Ω)=1(1)
易证此 P P P是一个概率测度，从而 ( Ω , F , P ) (\Omega,F,P) (Ω,F,P)是一个概率空间，他是描述 B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli试验的
概率空间。
设随机试验 E E E中小概率事件 A A A发生的概率 P ( A ) = ϵ P(A)=\epsilon P(A)=ϵ，其中 0 < ϵ < 1 0<\epsilon<1 0<ϵ<1，则不论 ϵ \epsilon ϵ如何小，只要不断独立地重复做试验 E E E，小概率事件** A A A迟早会发生几乎是必然的.不妨设 A i A_{i} Ai={ A A A在第 i i i次发生}则在 n n n重 B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli试验中 A A A至少发生一次的概率为
P ( A ) = P ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n ) = 1 − P ( A 1 ˉ A 2 … ˉ A n ˉ ) = 1 − ( 1 − ε ) n (2) P(A)=P(A_1\cup A_2 \cup\dots \cup A_n)=1-P(\bar{A_1} \bar{A_2 \dots} \bar{A_n})=1-(1-\varepsilon)^n \tag{2} P(A)=P(A1∪A2∪⋯∪An)=1−P(A1ˉA2…ˉAnˉ)=1−(1−ε)n(2)即
P ( A ) = 1 − ( 1 − ε ) n → 1 ( n → ∞ ) (3) P(A)=1-(1-\varepsilon)^n\rightarrow1(n\rightarrow\infty) \tag{3} P(A)=1−(1−ε)n→1(n→∞)(3)
由实际推断原理知，在一次试验中小概率事件 A A A实际上
几乎是不发生的。但是由上可知,在多次重复 B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli试验中，小概率事件 A A A会发生的概率接近于 1 1 1。
下面我们可以通过在计算机上模拟在 B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli试验中小概率事件 A A A发生的情况进一步验证结论。讨论在区间 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]进行(假设事件 A : a > b A:a>b A:a>b，其中 a a a为任意给定实数(不妨设为 1 0 − 5 10^{-5} 10−5)， b b b为由计算机系统随机生成的一个介于 0 ∼ 1 0\sim1 0∼1之间的实数，若小概率事件 A A A发生，则提示用户成功，否则未成功)。
还可结合
密度函数与分布函数进一步讨论。
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 次数 | 27739 | 65253 | 6871 | 118262 | 8261 | 72569 | … |
import random
a = 0.00001 #假设小概率事件A发生的概率
#b = random.uniform(0,1) #随机产生0到1之间的实数
flag = 0 #定义一个结束标志
num = 0 #定义一个计数标志
#不妨定义小概率事件A:a>b
while(True): #循环
num += 1 #计数
b = random.uniform(0,1)
if(a>b):
break #结束，跳出循环
print("Congratulate小概率事件A发生了!")
print("小概率事件A发生所重复试验的次数:",num)
#if a>b:
# flag = 1
# print("Congratulate小概率事件A发生了!")
#else:
# print("Excuse小概率事件未发生!")
通过模拟试验我们看出:
在一次试验中几乎是不发生的小概率事件转化为几乎会
发生的结果，这里面经历了量的积累，最终产生了质的变化。告诫我们"勿以恶小而为之,勿以善小而不为"的道理。同时，还启发我们学习、做事要有恒心，“天道酬勤”，“冰冻三尺非一日之寒，滴水穿石非一日之功”，我们需要不断学习充实自己，坚持做好一件事，因为"锲而不舍，金石可镂"。
同时，小概率事件并不是不可能事件，不可能事件是发生概率为 0 0 0且必然不会发生的。我们同时应该防范生活中不易发生的危险事件。
2019年4月15日下午6点50分[4](当地时间)，拥有850多年历史的世界著名建筑–法国
巴黎圣母院的顶部塔楼发生火灾。令人惋惜，小概率事件虽然是令人难以琢磨的，但是我们仍不能放弃对它的研究。其实[5]这些情况本质上是一种小样本认知偏差，即夸大了小样本条件下事件的概率对总体概率的
代表性，这也是不全面的看法。
总之，小概率事件反映了生活中一类特殊而重要的现象。全面正确认识这类事件，既可以避免无谓的损失，又可以在矛盾时找到有利的取舍依据。我们应该认识和把握好这个工具，让它更有效地为我们服务。
三、参考文献
[1]杨维权,邓集贤,等.概率论及数理统计.上册[M].北京:高等教育出版社,2009.7.
[2]马克思,恩格斯.马克思恩格斯文集:第1卷[M].北京:人民出版社,2009.
[3]黄昱,等.课程思政理念下概率论与数理统计教学改革[J].教育现代 化,2018,5(53):109-111,124.
[4]嵇冉,王健.生活中的小概率事件——从巴黎圣母院失火说起[J].中国统计,2019(07):47-49.
[5]秦秉杰.小概率原理及其应用[J].太原学院学报(自然科学版),2019,37(03):18-21.