[BZOJ4574][Zjoi2016]线段树（DP）

Address

洛谷P3352
BZOJ4574
UOJ#196
LOJ#2093

Solution

原本是一个期望 DP ，但是由于乘上了 $(\frac{n\times (n+1)}{2}{)}^q$ ，变成了计数 DP ，即求每个位置每种情况下的值之和。
数据是随机的，假设它们互不相同。先离散化。
很容易想到一个状态： $g[i][j]$ 表示第 $i$ 个数变成从小到大第 $j$ 个数的方案数。
那么 $x$ 位置的答案为：
$$\sum _{i=1}^{n}g[x][i]\times b_i$$
其中 $b_i$ 为从小到大第 $i$ 个数的值。
考虑如何求 $g[i][j]$ 。如果有 $a_x=b_j$ ，那么无论如何操作， 区间 $[l{e}_x+1,r{i}_x-1]$ 之外的值永远不会变成 $a_x$ 。
其中 $l{e}_x$ 为 $x$ 左边第一个比 $a_x$ 大的数的位置（不存在则为 $0$ ）
$r{i}_x$ 为 $x$ 右边第一个比 $a_x$ 大的数的位置（不存在则为 $n+1$ ）
所以再定义状态 $f[i][l][r]$ 表示第 $i$ 轮之后恰好 区间 $[l,r]$ 变成了 $a_x$ 的方案数。
这样还是不好 (ke) 推。因为如果某次操作发生在 $[u,v]$ （ $u\le l{e}_x<v$ ），那么 $l{e}_x$ 会增加或者 $r{i}_x$ 会减小（设分别改变至 $L$ 和 $R$ ），这样如果操作的左端点在 $[l{e}_x+1,L]$ 而右端点大于等于 $x$ 则修改对 $a_x$ 的分布会特别难处理。
于是我们把状态中的 $l$ 和 $r$ 改为 $l{e}_x+1$ 和 $r{i}_x-1$ 的值，即：
$f[i][l][r]$ 表示第 $i$ 轮之后恰好区间 $[l,r]$ 小于等于 $a_x$ 的方案数。
边界：
$$f[0][l{e}_x+1][r{i}_x-1]=1$$
转移（1）：操作区间不包含 $[l,r]$ ：
$$f[i][l][r]+=(\frac{l\times (l-1)}{2}+\frac{(n-r)(n-r+1)}{2}+\frac{(r-l+1)(r-l+2)}{2})f[i-1][l][r]$$
其中 $\frac{l\times (l-1)}{2}+\frac{(n-r)(n-r+1)}{2}+\frac{(r-l+1)(r-l+2)}{2}$ 表示与区间 $[l,r]$ 没有交集的区间个数。
转移（2）：操作区间 $[u,l-1]$ （ $u<j$ ）使得 $\le a_x$ 的区间 $[j,r]$ 缩小到 $[l,r]$ ：
$$f[i][l][r]+=\sum _{j=l{e}_x+1}^{l-1}f[i-1][j][r]\times (j-1)$$
转移（3）：操作区间 $[r+1,v]$ （ $v>j$ ）使得 $\le a_x$ 的区间 $[l,j]$ 缩小到 $[l,r]$ ：
$$f[i][l][r]+=\sum _{j=r+1}^{r{i}_x-1}f[i-1][l][j]\times (n-j)$$
转移（2）（3）需要前缀和优化。
同样地重新设置 $g[i][j]$ 的定义： $g[i][j]$ 表示 $q$ 轮后第 $i$ 个数 $\le a_j$ 的方案数。
对于每个 $a_x$ （ $r{k}_x$ 为 $a_x$ 的排名）：
$$g[i][r{k}_x]+=\sum _{j=l{e}_x+1}^i\sum _{k=i}^{r{i}_x-1}f[q][j][k]$$
同样可以前缀和优化。
然后将 $g$ 数组差分之后就得出 $i$ 位置为 $b_j$ 的方案数。
注意细节：如果对于一个位置 $i$ 和一个 $j$ ，如果有 $a_x=b_j$ ，且 $[l{e}_x+1,r{i}_x-1]$ 不包含 $i$ ，则 $g[i][j]$ 会为 $0$ ，而这样显然是不对的。所以，差分时应该枚举一个 $i$ ，对于所有的满足 $a_x=b_j$ 且 $[l{e}_x+1,r{i}_x-1]$ 包含 $j$ 的 $g[i][j]$ 取出并差分。
复杂度 $O(玄学)$ 。

Code

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Rof(i, a, b) for (i = a; i >= b; i--)
using namespace std;

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	return bo ? ~res + 1 : res;
}

typedef long long ll;
const int N = 405, ZZQ = 1e9 + 7;
int n, q, a[N], b[N], pre[N], nxt[N], stk[N], top, g[N][N], f[2][N][N],
sum[N][N], s[N][N];
bool is[N][N];

int Sum(int x)
{
	return x * (x + 1) >> 1;
}

void jiejuediao(int x)
{
	int i, j, k, L = pre[x] + 1, R = nxt[x] - 1;
	For (i, L, R) is[i][a[x]] = 1;
	For (i, L, R) For (j, L, R)
		f[0][i][j] = f[1][i][j] = s[i][j] = 0;
	f[0][L][R] = 1;
	For (i, 1, q)
	{
		int op = i & 1; ll xsum;
		For (j, L, R) For (k, j, R)
			f[op][j][k] = 1ll * sum[j][k] * f[op ^ 1][j][k] % ZZQ;
		For (k, L, R)
		{
			xsum = 0;
			For (j, L, k)
			{
				f[op][j][k] = (xsum + f[op][j][k]) % ZZQ;
				xsum = xsum + 1ll * f[op ^ 1][j][k] * (j - 1);
			}
		}
		For (j, L, R)
		{
			xsum = 0;
			Rof (k, R, j)
			{
				f[op][j][k] = (xsum + f[op][j][k]) % ZZQ;
				xsum = xsum + 1ll * f[op ^ 1][j][k] * (n - k);
			}
		}
	}
	s[L][R] = f[q & 1][L][R];
	Rof (i, R - 1, L) s[L][i] = (s[L][i + 1] + f[q & 1][L][i]) % ZZQ;
	For (i, L + 1, R)
	{
		s[i][R] = (s[i - 1][R] + f[q & 1][i][R]) % ZZQ;
		Rof (j, R - 1, L)
		{
			s[i][j] = ((s[i][j + 1] + s[i - 1][j]) % ZZQ
				- s[i - 1][j + 1] + f[q & 1][i][j]) % ZZQ;
			if (s[i][j] < 0) s[i][j] += ZZQ;
		}
	}
	For (i, L, R) g[i][a[x]] = (g[i][a[x]] + s[i][i]) % ZZQ;
}

int main()
{
	int i, j;
	n = read(); q = read();
	For (i, 1, n) a[i] = b[i] = read();
	sort(b + 1, b + n + 1);
	For (i, 1, n)
		a[i] = lower_bound(b + 1, b + n + 1, a[i]) - b;
	stk[top = 0] = 0;
	For (i, 1, n)
	{
		while (top && a[stk[top]] < a[i]) top--;
		pre[i] = stk[top];
		stk[++top] = i;
	}
	stk[top = 0] = n + 1;
	Rof (i, n, 1)
	{
		while (top && a[stk[top]] < a[i]) top--;
		nxt[i] = stk[top];
		stk[++top] = i;
	}
	For (i, 1, n) For (j, i, n)
		sum[i][j] = Sum(i - 1) + Sum(n - j) + Sum(j - i + 1);
	For (i, 1, n) jiejuediao(i);
	For (i, 1, n)
	{
		int nx = 0;
		For (j, 1, n)
		{
			if (!is[i][j]) continue;
			int tmp = g[i][j];
			g[i][j] = (g[i][j] - nx + ZZQ) % ZZQ;
			nx = tmp;
		}
	}
	For (i, 1, n)
	{
		int res = 0;
		For (j, 1, n)
			res = (res + 1ll * g[i][j] * b[j] % ZZQ) % ZZQ;
		printf("%d ", res);
	}
	cout << endl;
	return 0;
}