8.8 精确的4SAT问题的NP-完全性证明

问题:在精确的 4SAT 问题中,输入为一组子句,,每个字句都是恰好4个文字的析取,且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。

证明精确的 4SAT 是NP-完全问题。

证明如下:由于 3SAT 问题是 NP - 完全问题,所以如果能够从 3SAT 归约到精确的 4SAT 问题,那么精确的 4SAT 问题也是 NP - 完全问题。

下面是归约过程:

第一步:确保精确性。

对3SAT问题的每个子句集,如果有多个相同文字,缩减为一个;如果文字和文字的否定都有,两者都去掉。

第二步:子句扩充。

对每个子句集,加入一些无关文字扩充成含有四个文字的子句集,如:


显然这些扩充是可以在多项式时间内完成的。

这样就把一个3SAT问题归约成了精确的4SAT问题,因为3SAT问题是NP - 完全的,所以精确的4SAT问题也是NP - 完全的。


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