【数学】C031_最小移动次数使数组元素相等（暴力枚举 | 优化暴力 | 数学思想）

一、题目描述

Given a non-empty integer array of size n,
find the minimum number of moves(操作) required to make all array elements equal,
where a move(动作) is incrementing n - 1 elements by 1.

Example:
Input:
[1,2,3]
Output:
3

Explanation:
Only three moves are needed (remember each move increments two elements):
[1,2,3]  =>  [2,3,3]  =>  [3,4,3]  =>  [4,4,4]

二、题解

(1) 暴力枚举（超时）

@thought：在最大元素之外执行增加，扫描数组，每次增加后，都更新最大值，又因为最大值会改变，所以，我们每次扫描都只记录本次扫描的最大值下标。

/**
 * 时间复杂度：O(n^2 k)，其中 n 为数组长度，k 为最大值和最小值的差。
 * @date: 1/16/2020 7:41 PM
 * @Execution info：超时
 */
public int minMoves1(int[] nums) {
  int N = nums.length;
  int step=0;
  int minIndex=0, maxIndex=N-1;
  while (true) {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
      if(nums[maxIndex] < nums[i])
        maxIndex = i;
      if(nums[minIndex] > nums[i])
        minIndex = i;
    }
    if(nums[maxIndex] == nums[minIndex])
      break;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
      // 如果本次扫描的元素下标 != 最大值下标，即非最大值，而不是nums[i] != nums[maxIndex]
      if(i != maxIndex)
        nums[i]++;
    }
    step++;
  }
  return step;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^{2}k)$，$n^2$ * 每一轮找出最大值最小值差 $k$ 的和。

---

(2) 优化暴力

$@thought$：在 $minMoves1$ 中，我们每次找到了最小值，好像并没有去很好地使用 $minIndex$。既然，我们要让每个值都变成本次扫描的最大值，其中必然包括最小值，我们何不直接把本次扫描的最大最小值差 $nums[maxIndex]-nums[maxIndex]$ 作为本次循环的加数和移动的步数呢？

/**
 * @date: 1/16/2020 8:06 PM
 * @Execution info：
 * ·执行用时  ms 击败了 % 的java用户
 * 内存消耗 MB 击败了 % 的java用户
 */
public int minMoves2(int[] nums) {
  int N = nums.length;
  int step=0;
  int minIndex=0, maxIndex=N-1;

  while(true) {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
      if(nums[i] > nums[maxIndex])
        maxIndex = i;
      if(nums[i] < nums[minIndex])
        minIndex = i;
    }
    int diff = nums[maxIndex]-nums[minIndex];
    if(nums[minIndex] == nums[maxIndex])
      break;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
      if(i != maxIndex)
        nums[i]+=diff;
    }
    step+=diff;
  }
  return step;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，每次迭代中两个元素是相等的。

---

(3) 数学思想

$@thought$：要让一群数字变成相等状态，可以对非最大值（即，$n-1$个元素）都进行进行 $+1$ 操作，也等价于对每轮的最大值进行 $-1$ 操作。

问题就转化为，每个非最小值数与最小值的差值

/**
 * @date: 1/16/2020 8:19 PM
 * @Execution info：
 * 执行用时 3 ms 击败了 71.8% 的java用户
 * 内存消耗 39MB 击败了 92% 的java用户
 */
public int minMoves3(int[] nums) {
  int step=0;
  int min=0x7fffffff;
//    for(int n : nums)
//      min = Math.min(n, min);
  for(int n : nums)
    if(n < min) min=n;  // 避免每次都执行不必要的赋值操作
  for(int n : nums)
    step += n-min;
  return step;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$